Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1819 / 2766
↖ ↑ ↗
← S 53.225769°
W 20.126953°		 ← 5 850.73 m → S 53.225769°
W 20.039063°		 →
↑
5 847.11 m
↓
↑
5 847.11 m
↓
S 53.278353°
W 20.126953°		 ← 5 843.54 m →
34 188 865 m²		 S 53.278353°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4442138671875 y=0.6754150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4442138671875 × 212)
    floor (0.4442138671875 × 4096)
    floor (1819.5)     		tx = 1819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6754150390625 × 212)
    floor (0.6754150390625 × 4096)
    floor (2766.5)     		ty = 2766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1819 / 2766 ti = "12/1819/2766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1819/2766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1819 ÷ 212
    1819 ÷ 4096     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2766 ÷ 212
    2766 ÷ 4096     		y = 0.67529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67529296875 × 2 - 1) × π
    -0.3505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.10139820567041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10139820567041))-π/2
    2×atan(0.332405986687747)-π/2
    2×0.320915710352566-π/2
    0.641831420705132-1.57079632675     		φ = -0.92896491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92896491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.225769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1819 KachelY 2766 -0.35128160 -0.92896491 -20.126953 -53.225769
    Oben rechts KachelX + 1 1820 KachelY 2766 -0.34974762 -0.92896491 -20.039063 -53.225769
    Unten links KachelX 1819 KachelY + 1 2767 -0.35128160 -0.92988268 -20.126953 -53.278353
    Unten rechts KachelX + 1 1820 KachelY + 1 2767 -0.34974762 -0.92988268 -20.039063 -53.278353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92896491--0.92988268) × R
    0.000917769999999929 × 6371000     		dl = 5847.11266999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92896491--0.92988268) × R
    0.000917769999999929 × 6371000     		dr = 5847.11266999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.34974762) × cos(-0.92896491) × R
    0.00153398000000005 × 0.598663410660725 × 6371000     		do = 5850.72947832447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.34974762) × cos(-0.92988268) × R
    0.00153398000000005 × 0.597928024224259 × 6371000     		du = 5843.54255654977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92896491)-sin(-0.92988268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598663410660725-0.597928024224259)×R²
    abs(-0.34974762--0.35128160)×0.000735386436465868×R²
    0.00153398000000005×0.000735386436465868×6371000²
    0.00153398000000005×0.000735386436465868×40589641000000     		ar = 34188865.4905484m²