Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1819 / 2732
↖ ↑ ↗
← S 51.399206°
W 20.126953°		 ← 6 097.27 m → S 51.399206°
W 20.039063°		 →
↑
6 093.61 m
↓
↑
6 093.61 m
↓
S 51.454007°
W 20.126953°		 ← 6 089.96 m →
37 132 119 m²		 S 51.454007°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4442138671875 y=0.6671142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4442138671875 × 212)
    floor (0.4442138671875 × 4096)
    floor (1819.5)     		tx = 1819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6671142578125 × 212)
    floor (0.6671142578125 × 4096)
    floor (2732.5)     		ty = 2732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1819 / 2732 ti = "12/1819/2732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1819/2732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1819 ÷ 212
    1819 ÷ 4096     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2732 ÷ 212
    2732 ÷ 4096     		y = 0.6669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6669921875 × 2 - 1) × π
    -0.333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04924285888379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04924285888379))-π/2
    2×atan(0.350202801697565)-π/2
    2×0.336855477624705-π/2
    0.67371095524941-1.57079632675     		φ = -0.89708537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89708537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.399206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1819 KachelY 2732 -0.35128160 -0.89708537 -20.126953 -51.399206
    Oben rechts KachelX + 1 1820 KachelY 2732 -0.34974762 -0.89708537 -20.039063 -51.399206
    Unten links KachelX 1819 KachelY + 1 2733 -0.35128160 -0.89804183 -20.126953 -51.454007
    Unten rechts KachelX + 1 1820 KachelY + 1 2733 -0.34974762 -0.89804183 -20.039063 -51.454007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89708537--0.89804183) × R
    0.000956460000000048 × 6371000     		dl = 6093.60666000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89708537--0.89804183) × R
    0.000956460000000048 × 6371000     		dr = 6093.60666000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.34974762) × cos(-0.89708537) × R
    0.00153398000000005 × 0.62389043284113 × 6371000     		do = 6097.27282754693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.34974762) × cos(-0.89804183) × R
    0.00153398000000005 × 0.62314266278553 × 6371000     		du = 6089.96488082863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89708537)-sin(-0.89804183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62389043284113-0.62314266278553)×R²
    abs(-0.34974762--0.35128160)×0.000747770055600117×R²
    0.00153398000000005×0.000747770055600117×6371000²
    0.00153398000000005×0.000747770055600117×40589641000000     		ar = 37132119.2641386m²