Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1818 / 2769
↖ ↑ ↗
← S 53.383329°
W 20.214844°		 ← 5 829.18 m → S 53.383329°
W 20.126953°		 →
↑
5 825.58 m
↓
↑
5 825.58 m
↓
S 53.435719°
W 20.214844°		 ← 5 822.01 m →
33 937 452 m²		 S 53.435719°
W 20.126953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4439697265625 y=0.6761474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4439697265625 × 212)
    floor (0.4439697265625 × 4096)
    floor (1818.5)     		tx = 1818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6761474609375 × 212)
    floor (0.6761474609375 × 4096)
    floor (2769.5)     		ty = 2769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1818 / 2769 ti = "12/1818/2769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1818/2769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1818 ÷ 212
    1818 ÷ 4096     		x = 0.44384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2769 ÷ 212
    2769 ÷ 4096     		y = 0.676025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35281558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.35205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10600014803394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35281558} λ = -0.35281558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10600014803394))-π/2
    2×atan(0.330879787928551)-π/2
    2×0.319540740563169-π/2
    0.639081481126338-1.57079632675     		φ = -0.93171485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35281558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93171485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.383329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1818 KachelY 2769 -0.35281558 -0.93171485 -20.214844 -53.383329
    Oben rechts KachelX + 1 1819 KachelY 2769 -0.35128160 -0.93171485 -20.126953 -53.383329
    Unten links KachelX 1818 KachelY + 1 2770 -0.35281558 -0.93262924 -20.214844 -53.435719
    Unten rechts KachelX + 1 1819 KachelY + 1 2770 -0.35128160 -0.93262924 -20.126953 -53.435719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93171485--0.93262924) × R
    0.000914390000000043 × 6371000     		dl = 5825.57869000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93171485--0.93262924) × R
    0.000914390000000043 × 6371000     		dr = 5825.57869000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35281558--0.35128160) × cos(-0.93171485) × R
    0.00153397999999999 × 0.596458445977293 × 6371000     		do = 5829.1803880637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35281558--0.35128160) × cos(-0.93262924) × R
    0.00153397999999999 × 0.595724267119292 × 6371000     		du = 5822.00526793714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93171485)-sin(-0.93262924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596458445977293-0.595724267119292)×R²
    abs(-0.35128160--0.35281558)×0.000734178858001311×R²
    0.00153397999999999×0.000734178858001311×6371000²
    0.00153397999999999×0.000734178858001311×40589641000000     		ar = 33937451.8000323m²