Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1818 / 2742
↖ ↑ ↗
← S 51.944265°
W 20.214844°		 ← 6 024.34 m → S 51.944265°
W 20.126953°		 →
↑
6 020.72 m
↓
↑
6 020.72 m
↓
S 51.998411°
W 20.214844°		 ← 6 017.06 m →
36 248 981 m²		 S 51.998411°
W 20.126953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4439697265625 y=0.6695556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4439697265625 × 212)
    floor (0.4439697265625 × 4096)
    floor (1818.5)     		tx = 1818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6695556640625 × 212)
    floor (0.6695556640625 × 4096)
    floor (2742.5)     		ty = 2742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1818 / 2742 ti = "12/1818/2742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1818/2742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1818 ÷ 212
    1818 ÷ 4096     		x = 0.44384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2742 ÷ 212
    2742 ÷ 4096     		y = 0.66943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35281558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66943359375 × 2 - 1) × π
    -0.3388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06458266676221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35281558} λ = -0.35281558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06458266676221))-π/2
    2×atan(0.344871751183298)-π/2
    2×0.332098938573274-π/2
    0.664197877146547-1.57079632675     		φ = -0.90659845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35281558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90659845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.944265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1818 KachelY 2742 -0.35281558 -0.90659845 -20.214844 -51.944265
    Oben rechts KachelX + 1 1819 KachelY 2742 -0.35128160 -0.90659845 -20.126953 -51.944265
    Unten links KachelX 1818 KachelY + 1 2743 -0.35281558 -0.90754347 -20.214844 -51.998411
    Unten rechts KachelX + 1 1819 KachelY + 1 2743 -0.35128160 -0.90754347 -20.126953 -51.998411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90659845--0.90754347) × R
    0.000945020000000074 × 6371000     		dl = 6020.72242000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90659845--0.90754347) × R
    0.000945020000000074 × 6371000     		dr = 6020.72242000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35281558--0.35128160) × cos(-0.90659845) × R
    0.00153397999999999 × 0.616427730073519 × 6371000     		do = 6024.33993354832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35281558--0.35128160) × cos(-0.90754347) × R
    0.00153397999999999 × 0.615683335324272 × 6371000     		du = 6017.06497365372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90659845)-sin(-0.90754347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616427730073519-0.615683335324272)×R²
    abs(-0.35128160--0.35281558)×0.000744394749246591×R²
    0.00153397999999999×0.000744394749246591×6371000²
    0.00153397999999999×0.000744394749246591×40589641000000     		ar = 36248980.9442651m²