Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1813 / 2798
↖ ↑ ↗
← S 54.876607°
W 20.654297°		 ← 5 622.82 m → S 54.876607°
W 20.566406°		 →
↑
5 619.22 m
↓
↑
5 619.22 m
↓
S 54.927142°
W 20.654297°		 ← 5 615.77 m →
31 576 058 m²		 S 54.927142°
W 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4427490234375 y=0.6832275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4427490234375 × 212)
    floor (0.4427490234375 × 4096)
    floor (1813.5)     		tx = 1813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6832275390625 × 212)
    floor (0.6832275390625 × 4096)
    floor (2798.5)     		ty = 2798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1813 / 2798 ti = "12/1813/2798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1813/2798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1813 ÷ 212
    1813 ÷ 4096     		x = 0.442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2798 ÷ 212
    2798 ÷ 4096     		y = 0.68310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.11474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36048549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68310546875 × 2 - 1) × π
    -0.3662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36048549} λ = -0.36048549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15048559088135))-π/2
    2×atan(0.31648305077634)-π/2
    2×0.306509429188895-π/2
    0.61301885837779-1.57079632675     		φ = -0.95777747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36048549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.654297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95777747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.876607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1813 KachelY 2798 -0.36048549 -0.95777747 -20.654297 -54.876607
    Oben rechts KachelX + 1 1814 KachelY 2798 -0.35895150 -0.95777747 -20.566406 -54.876607
    Unten links KachelX 1813 KachelY + 1 2799 -0.36048549 -0.95865947 -20.654297 -54.927142
    Unten rechts KachelX + 1 1814 KachelY + 1 2799 -0.35895150 -0.95865947 -20.566406 -54.927142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95777747--0.95865947) × R
    0.000881999999999938 × 6371000     		dl = 5619.22199999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95777747--0.95865947) × R
    0.000881999999999938 × 6371000     		dr = 5619.22199999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36048549--0.35895150) × cos(-0.95777747) × R
    0.00153399000000004 × 0.575339245919403 × 6371000     		do = 5622.81938418115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36048549--0.35895150) × cos(-0.95865947) × R
    0.00153399000000004 × 0.57461762130305 × 6371000     		du = 5615.76691051504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95777747)-sin(-0.95865947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575339245919403-0.57461762130305)×R²
    abs(-0.35895150--0.36048549)×0.000721624616352723×R²
    0.00153399000000004×0.000721624616352723×6371000²
    0.00153399000000004×0.000721624616352723×40589641000000     		ar = 31576057.7250052m²