Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1810 / 2806
↖ ↑ ↗
← S 55.279115°
W 20.917969°		 ← 5 566.49 m → S 55.279115°
W 20.830078°		 →
↑
5 562.97 m
↓
↑
5 562.97 m
↓
S 55.329144°
W 20.917969°		 ← 5 559.47 m →
30 946 679 m²		 S 55.329144°
W 20.830078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4420166015625 y=0.6851806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4420166015625 × 212)
    floor (0.4420166015625 × 4096)
    floor (1810.5)     		tx = 1810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6851806640625 × 212)
    floor (0.6851806640625 × 4096)
    floor (2806.5)     		ty = 2806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1810 / 2806 ti = "12/1810/2806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1810/2806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1810 ÷ 212
    1810 ÷ 4096     		x = 0.44189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2806 ÷ 212
    2806 ÷ 4096     		y = 0.68505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44189453125 × 2 - 1) × π
    -0.1162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36508743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68505859375 × 2 - 1) × π
    -0.3701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16275743718408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36508743} λ = -0.36508743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16275743718408))-π/2
    2×atan(0.312622953125861)-π/2
    2×0.302996878689303-π/2
    0.605993757378607-1.57079632675     		φ = -0.96480257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36508743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96480257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.279115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1810 KachelY 2806 -0.36508743 -0.96480257 -20.917969 -55.279115
    Oben rechts KachelX + 1 1811 KachelY 2806 -0.36355345 -0.96480257 -20.830078 -55.279115
    Unten links KachelX 1810 KachelY + 1 2807 -0.36508743 -0.96567574 -20.917969 -55.329144
    Unten rechts KachelX + 1 1811 KachelY + 1 2807 -0.36355345 -0.96567574 -20.830078 -55.329144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96480257--0.96567574) × R
    0.000873169999999979 × 6371000     		dl = 5562.96606999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96480257--0.96567574) × R
    0.000873169999999979 × 6371000     		dr = 5562.96606999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36508743--0.36355345) × cos(-0.96480257) × R
    0.00153397999999999 × 0.569579162331506 × 6371000     		do = 5566.48950971341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36508743--0.36355345) × cos(-0.96567574) × R
    0.00153397999999999 × 0.568861255015174 × 6371000     		du = 5559.47341114522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96480257)-sin(-0.96567574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569579162331506-0.568861255015174)×R²
    abs(-0.36355345--0.36508743)×0.000717907316331035×R²
    0.00153397999999999×0.000717907316331035×6371000²
    0.00153397999999999×0.000717907316331035×40589641000000     		ar = 30946679.0786181m²