Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1809 / 2813
↖ ↑ ↗
← S 55.627996°
W 21.005859°		 ← 5 517.47 m → S 55.627996°
W 20.917969°		 →
↑
5 513.97 m
↓
↑
5 513.97 m
↓
S 55.677585°
W 21.005859°		 ← 5 510.49 m →
30 403 952 m²		 S 55.677585°
W 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4417724609375 y=0.6868896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4417724609375 × 212)
    floor (0.4417724609375 × 4096)
    floor (1809.5)     		tx = 1809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6868896484375 × 212)
    floor (0.6868896484375 × 4096)
    floor (2813.5)     		ty = 2813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1809 / 2813 ti = "12/1809/2813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1809/2813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1809 ÷ 212
    1809 ÷ 4096     		x = 0.441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2813 ÷ 212
    2813 ÷ 4096     		y = 0.686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441650390625 × 2 - 1) × π
    -0.11669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36662141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.37353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17349530269897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36662141} λ = -0.36662141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17349530269897))-π/2
    2×atan(0.309284008549358)-π/2
    2×0.299952320562892-π/2
    0.599904641125785-1.57079632675     		φ = -0.97089169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36662141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.005859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97089169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.627996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1809 KachelY 2813 -0.36662141 -0.97089169 -21.005859 -55.627996
    Oben rechts KachelX + 1 1810 KachelY 2813 -0.36508743 -0.97089169 -20.917969 -55.627996
    Unten links KachelX 1809 KachelY + 1 2814 -0.36662141 -0.97175717 -21.005859 -55.677585
    Unten rechts KachelX + 1 1810 KachelY + 1 2814 -0.36508743 -0.97175717 -20.917969 -55.677585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97089169--0.97175717) × R
    0.000865479999999974 × 6371000     		dl = 5513.97307999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97089169--0.97175717) × R
    0.000865479999999974 × 6371000     		dr = 5513.97307999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36662141--0.36508743) × cos(-0.97089169) × R
    0.00153397999999999 × 0.564563764178162 × 6371000     		do = 5517.47409086742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36662141--0.36508743) × cos(-0.97175717) × R
    0.00153397999999999 × 0.563849194755044 × 6371000     		du = 5510.49061348482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97089169)-sin(-0.97175717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564563764178162-0.563849194755044)×R²
    abs(-0.36508743--0.36662141)×0.000714569423117983×R²
    0.00153397999999999×0.000714569423117983×6371000²
    0.00153397999999999×0.000714569423117983×40589641000000     		ar = 30403952.1513474m²