Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1808 / 2862
↖ ↑ ↗
← S 57.984808°
W 21.093750°		 ← 5 181.09 m → S 57.984808°
W 21.005859°		 →
↑
5 177.71 m
↓
↑
5 177.71 m
↓
S 58.031373°
W 21.093750°		 ← 5 174.35 m →
26 808 759 m²		 S 58.031373°
W 21.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4415283203125 y=0.6988525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4415283203125 × 212)
    floor (0.4415283203125 × 4096)
    floor (1808.5)     		tx = 1808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6988525390625 × 212)
    floor (0.6988525390625 × 4096)
    floor (2862.5)     		ty = 2862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1808 / 2862 ti = "12/1808/2862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1808/2862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1808 ÷ 212
    1808 ÷ 4096     		x = 0.44140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2862 ÷ 212
    2862 ÷ 4096     		y = 0.69873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44140625 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69873046875 × 2 - 1) × π
    -0.3974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.24866036130322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36815539} λ = -0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.24866036130322))-π/2
    2×atan(0.28688886697303)-π/2
    2×0.279385255370635-π/2
    0.55877051074127-1.57079632675     		φ = -1.01202582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01202582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.984808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1808 KachelY 2862 -0.36815539 -1.01202582 -21.093750 -57.984808
    Oben rechts KachelX + 1 1809 KachelY 2862 -0.36662141 -1.01202582 -21.005859 -57.984808
    Unten links KachelX 1808 KachelY + 1 2863 -0.36815539 -1.01283852 -21.093750 -58.031373
    Unten rechts KachelX + 1 1809 KachelY + 1 2863 -0.36662141 -1.01283852 -21.005859 -58.031373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01202582--1.01283852) × R
    0.0008127 × 6371000     		dl = 5177.7117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01202582--1.01283852) × R
    0.0008127 × 6371000     		dr = 5177.7117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36815539--0.36662141) × cos(-1.01202582) × R
    0.00153398000000005 × 0.530144102296652 × 6371000     		do = 5181.09119721148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36815539--0.36662141) × cos(-1.01283852) × R
    0.00153398000000005 × 0.529454832823138 × 6371000     		du = 5174.35497589682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01202582)-sin(-1.01283852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530144102296652-0.529454832823138)×R²
    abs(-0.36662141--0.36815539)×0.000689269473514109×R²
    0.00153398000000005×0.000689269473514109×6371000²
    0.00153398000000005×0.000689269473514109×40589641000000     		ar = 26808758.8801663m²