Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1807 / 2861
↖ ↑ ↗
← S 57.938183°
W 21.181641°		 ← 5 187.83 m → S 57.938183°
W 21.093750°		 →
↑
5 184.46 m
↓
↑
5 184.46 m
↓
S 57.984808°
W 21.181641°		 ← 5 181.09 m →
26 878 663 m²		 S 57.984808°
W 21.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4412841796875 y=0.6986083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4412841796875 × 212)
    floor (0.4412841796875 × 4096)
    floor (1807.5)     		tx = 1807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6986083984375 × 212)
    floor (0.6986083984375 × 4096)
    floor (2861.5)     		ty = 2861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1807 / 2861 ti = "12/1807/2861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1807/2861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1807 ÷ 212
    1807 ÷ 4096     		x = 0.441162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2861 ÷ 212
    2861 ÷ 4096     		y = 0.698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441162109375 × 2 - 1) × π
    -0.11767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36968937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.698486328125 × 2 - 1) × π
    -0.39697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.24712638051538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36968937} λ = -0.36968937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.24712638051538))-π/2
    2×atan(0.287329286694546)-π/2
    2×0.279792135313895-π/2
    0.55958427062779-1.57079632675     		φ = -1.01121206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36968937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.181641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01121206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.938183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1807 KachelY 2861 -0.36968937 -1.01121206 -21.181641 -57.938183
    Oben rechts KachelX + 1 1808 KachelY 2861 -0.36815539 -1.01121206 -21.093750 -57.938183
    Unten links KachelX 1807 KachelY + 1 2862 -0.36968937 -1.01202582 -21.181641 -57.984808
    Unten rechts KachelX + 1 1808 KachelY + 1 2862 -0.36815539 -1.01202582 -21.093750 -57.984808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01121206--1.01202582) × R
    0.000813759999999997 × 6371000     		dl = 5184.46495999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01121206--1.01202582) × R
    0.000813759999999997 × 6371000     		dr = 5184.46495999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36968937--0.36815539) × cos(-1.01121206) × R
    0.00153397999999999 × 0.530833919944645 × 6371000     		do = 5187.83277582777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36968937--0.36815539) × cos(-1.01202582) × R
    0.00153397999999999 × 0.530144102296652 × 6371000     		du = 5181.09119721129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01121206)-sin(-1.01202582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530833919944645-0.530144102296652)×R²
    abs(-0.36815539--0.36968937)×0.000689817647992808×R²
    0.00153397999999999×0.000689817647992808×6371000²
    0.00153397999999999×0.000689817647992808×40589641000000     		ar = 26878662.9888339m²