Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1807 / 2750
↖ ↑ ↗
← S 52.375599°
W 21.181641°		 ← 5 966.24 m → S 52.375599°
W 21.093750°		 →
↑
5 962.62 m
↓
↑
5 962.62 m
↓
S 52.429222°
W 21.181641°		 ← 5 958.99 m →
35 552 798 m²		 S 52.429222°
W 21.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4412841796875 y=0.6715087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4412841796875 × 212)
    floor (0.4412841796875 × 4096)
    floor (1807.5)     		tx = 1807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6715087890625 × 212)
    floor (0.6715087890625 × 4096)
    floor (2750.5)     		ty = 2750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1807 / 2750 ti = "12/1807/2750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1807/2750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1807 ÷ 212
    1807 ÷ 4096     		x = 0.441162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2750 ÷ 212
    2750 ÷ 4096     		y = 0.67138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441162109375 × 2 - 1) × π
    -0.11767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36968937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67138671875 × 2 - 1) × π
    -0.3427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07685451306494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36968937} λ = -0.36968937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07685451306494))-π/2
    2×atan(0.34066540069093)-π/2
    2×0.328334836738077-π/2
    0.656669673476154-1.57079632675     		φ = -0.91412665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36968937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.181641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91412665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.375599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1807 KachelY 2750 -0.36968937 -0.91412665 -21.181641 -52.375599
    Oben rechts KachelX + 1 1808 KachelY 2750 -0.36815539 -0.91412665 -21.093750 -52.375599
    Unten links KachelX 1807 KachelY + 1 2751 -0.36968937 -0.91506255 -21.181641 -52.429222
    Unten rechts KachelX + 1 1808 KachelY + 1 2751 -0.36815539 -0.91506255 -21.093750 -52.429222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91412665--0.91506255) × R
    0.00093589999999999 × 6371000     		dl = 5962.61889999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91412665--0.91506255) × R
    0.00093589999999999 × 6371000     		dr = 5962.61889999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36968937--0.36815539) × cos(-0.91412665) × R
    0.00153397999999999 × 0.61048252732382 × 6371000     		do = 5966.23754686013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36968937--0.36815539) × cos(-0.91506255) × R
    0.00153397999999999 × 0.60974099944977 × 6371000     		du = 5958.99060489835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91412665)-sin(-0.91506255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61048252732382-0.60974099944977)×R²
    abs(-0.36815539--0.36968937)×0.000741527874049686×R²
    0.00153397999999999×0.000741527874049686×6371000²
    0.00153397999999999×0.000741527874049686×40589641000000     		ar = 35552797.9773313m²