Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1801 / 2799
↖ ↑ ↗
← S 54.927142°
W 21.708984°		 ← 5 615.73 m → S 54.927142°
W 21.621094°		 →
↑
5 612.21 m
↓
↑
5 612.21 m
↓
S 54.977613°
W 21.708984°		 ← 5 608.68 m →
31 496 904 m²		 S 54.977613°
W 21.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4398193359375 y=0.6834716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4398193359375 × 212)
    floor (0.4398193359375 × 4096)
    floor (1801.5)     		tx = 1801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6834716796875 × 212)
    floor (0.6834716796875 × 4096)
    floor (2799.5)     		ty = 2799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1801 / 2799 ti = "12/1801/2799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1801/2799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1801 ÷ 212
    1801 ÷ 4096     		x = 0.439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2799 ÷ 212
    2799 ÷ 4096     		y = 0.683349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.12060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37889325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683349609375 × 2 - 1) × π
    -0.36669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15201957166919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37889325} λ = -0.37889325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15201957166919))-π/2
    2×atan(0.315997944024116)-π/2
    2×0.306068426283732-π/2
    0.612136852567464-1.57079632675     		φ = -0.95865947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37889325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.708984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95865947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.927142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1801 KachelY 2799 -0.37889325 -0.95865947 -21.708984 -54.927142
    Oben rechts KachelX + 1 1802 KachelY 2799 -0.37735927 -0.95865947 -21.621094 -54.927142
    Unten links KachelX 1801 KachelY + 1 2800 -0.37889325 -0.95954037 -21.708984 -54.977613
    Unten rechts KachelX + 1 1802 KachelY + 1 2800 -0.37735927 -0.95954037 -21.621094 -54.977613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95865947--0.95954037) × R
    0.000880900000000073 × 6371000     		dl = 5612.21390000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95865947--0.95954037) × R
    0.000880900000000073 × 6371000     		dr = 5612.21390000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37889325--0.37735927) × cos(-0.95865947) × R
    0.00153397999999999 × 0.57461762130305 × 6371000     		do = 5615.7303016262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37889325--0.37735927) × cos(-0.95954037) × R
    0.00153397999999999 × 0.573896450498898 × 6371000     		du = 5608.68230903533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95865947)-sin(-0.95954037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57461762130305-0.573896450498898)×R²
    abs(-0.37735927--0.37889325)×0.000721170804152682×R²
    0.00153397999999999×0.000721170804152682×6371000²
    0.00153397999999999×0.000721170804152682×40589641000000     		ar = 31496904.2732074m²