Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1787 / 2830
↖ ↑ ↗
← S 56.462490°
W 22.939453°		 ← 5 399.44 m → S 56.462490°
W 22.851562°		 →
↑
5 395.98 m
↓
↑
5 395.98 m
↓
S 56.511018°
W 22.939453°		 ← 5 392.54 m →
29 116 675 m²		 S 56.511018°
W 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4364013671875 y=0.6910400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4364013671875 × 212)
    floor (0.4364013671875 × 4096)
    floor (1787.5)     		tx = 1787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6910400390625 × 212)
    floor (0.6910400390625 × 4096)
    floor (2830.5)     		ty = 2830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1787 / 2830 ti = "12/1787/2830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1787/2830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1787 ÷ 212
    1787 ÷ 4096     		x = 0.436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2830 ÷ 212
    2830 ÷ 4096     		y = 0.69091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.12744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40036899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69091796875 × 2 - 1) × π
    -0.3818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19957297609229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40036899} λ = -0.40036899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19957297609229))-π/2
    2×atan(0.301322856506758)-π/2
    2×0.292669981996998-π/2
    0.585339963993996-1.57079632675     		φ = -0.98545636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40036899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98545636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.462490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1787 KachelY 2830 -0.40036899 -0.98545636 -22.939453 -56.462490
    Oben rechts KachelX + 1 1788 KachelY 2830 -0.39883500 -0.98545636 -22.851562 -56.462490
    Unten links KachelX 1787 KachelY + 1 2831 -0.40036899 -0.98630332 -22.939453 -56.511018
    Unten rechts KachelX + 1 1788 KachelY + 1 2831 -0.39883500 -0.98630332 -22.851562 -56.511018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98545636--0.98630332) × R
    0.000846959999999952 × 6371000     		dl = 5395.9821599997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98545636--0.98630332) × R
    0.000846959999999952 × 6371000     		dr = 5395.9821599997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40036899--0.39883500) × cos(-0.98545636) × R
    0.00153398999999999 × 0.552482784839583 × 6371000     		do = 5399.44204059644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40036899--0.39883500) × cos(-0.98630332) × R
    0.00153398999999999 × 0.551776625016533 × 6371000     		du = 5392.54070513299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98545636)-sin(-0.98630332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552482784839583-0.551776625016533)×R²
    abs(-0.39883500--0.40036899)×0.000706159823050667×R²
    0.00153398999999999×0.000706159823050667×6371000²
    0.00153398999999999×0.000706159823050667×40589641000000     		ar = 29116674.9240403m²