Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1782 / 2810
↖ ↑ ↗
← S 55.478854°
W 23.378906°		 ← 5 538.45 m → S 55.478854°
W 23.291016°		 →
↑
5 534.93 m
↓
↑
5 534.93 m
↓
S 55.528630°
W 23.378906°		 ← 5 531.46 m →
30 635 605 m²		 S 55.528630°
W 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4351806640625 y=0.6861572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4351806640625 × 212)
    floor (0.4351806640625 × 4096)
    floor (1782.5)     		tx = 1782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6861572265625 × 212)
    floor (0.6861572265625 × 4096)
    floor (2810.5)     		ty = 2810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1782 / 2810 ti = "12/1782/2810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1782/2810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1782 ÷ 212
    1782 ÷ 4096     		x = 0.43505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2810 ÷ 212
    2810 ÷ 4096     		y = 0.68603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43505859375 × 2 - 1) × π
    -0.1298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40803889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68603515625 × 2 - 1) × π
    -0.3720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16889336033545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40803889} λ = -0.40803889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16889336033545))-π/2
    2×atan(0.310710595749024)-π/2
    2×0.301253834323803-π/2
    0.602507668647606-1.57079632675     		φ = -0.96828866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40803889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.378906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96828866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.478854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1782 KachelY 2810 -0.40803889 -0.96828866 -23.378906 -55.478854
    Oben rechts KachelX + 1 1783 KachelY 2810 -0.40650491 -0.96828866 -23.291016 -55.478854
    Unten links KachelX 1782 KachelY + 1 2811 -0.40803889 -0.96915743 -23.378906 -55.528630
    Unten rechts KachelX + 1 1783 KachelY + 1 2811 -0.40650491 -0.96915743 -23.291016 -55.528630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96828866--0.96915743) × R
    0.000868769999999963 × 6371000     		dl = 5534.93366999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96828866--0.96915743) × R
    0.000868769999999963 × 6371000     		dr = 5534.93366999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40803889--0.40650491) × cos(-0.96828866) × R
    0.00153397999999999 × 0.566710362596155 × 6371000     		do = 5538.45276839913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40803889--0.40650491) × cos(-0.96915743) × R
    0.00153397999999999 × 0.565994354373708 × 6371000     		du = 5531.45522964998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96828866)-sin(-0.96915743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566710362596155-0.565994354373708)×R²
    abs(-0.40650491--0.40803889)×0.000716008222447551×R²
    0.00153397999999999×0.000716008222447551×6371000²
    0.00153397999999999×0.000716008222447551×40589641000000     		ar = 30635605.1779789m²