Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1778 / 2739
↖ ↑ ↗
← S 51.781435°
W 23.730469°		 ← 6 046.19 m → S 51.781435°
W 23.642578°		 →
↑
6 042.57 m
↓
↑
6 042.57 m
↓
S 51.835778°
W 23.730469°		 ← 6 038.90 m →
36 512 519 m²		 S 51.835778°
W 23.642578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4342041015625 y=0.6688232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4342041015625 × 212)
    floor (0.4342041015625 × 4096)
    floor (1778.5)     		tx = 1778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6688232421875 × 212)
    floor (0.6688232421875 × 4096)
    floor (2739.5)     		ty = 2739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1778 / 2739 ti = "12/1778/2739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1778/2739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1778 ÷ 212
    1778 ÷ 4096     		x = 0.43408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2739 ÷ 212
    2739 ÷ 4096     		y = 0.668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41417481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.33740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05998072439868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41417481} λ = -0.41417481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05998072439868))-π/2
    2×atan(0.346462488538495)-π/2
    2×0.333519892053448-π/2
    0.667039784106895-1.57079632675     		φ = -0.90375654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41417481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90375654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.781435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1778 KachelY 2739 -0.41417481 -0.90375654 -23.730469 -51.781435
    Oben rechts KachelX + 1 1779 KachelY 2739 -0.41264083 -0.90375654 -23.642578 -51.781435
    Unten links KachelX 1778 KachelY + 1 2740 -0.41417481 -0.90470499 -23.730469 -51.835778
    Unten rechts KachelX + 1 1779 KachelY + 1 2740 -0.41264083 -0.90470499 -23.642578 -51.835778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90375654--0.90470499) × R
    0.00094844999999999 × 6371000     		dl = 6042.57494999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90375654--0.90470499) × R
    0.00094844999999999 × 6371000     		dr = 6042.57494999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41417481--0.41264083) × cos(-0.90375654) × R
    0.00153397999999999 × 0.618662990374151 × 6371000     		do = 6046.1851024692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41417481--0.41264083) × cos(-0.90470499) × R
    0.00153397999999999 × 0.617917556336133 × 6371000     		du = 6038.89998561939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90375654)-sin(-0.90470499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618662990374151-0.617917556336133)×R²
    abs(-0.41264083--0.41417481)×0.000745434038017412×R²
    0.00153397999999999×0.000745434038017412×6371000²
    0.00153397999999999×0.000745434038017412×40589641000000     		ar = 36512518.9480422m²