Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1777 / 2737
↖ ↑ ↗
← S 51.672555°
W 23.818359°		 ← 6 060.77 m → S 51.672555°
W 23.730469°		 →
↑
6 057.10 m
↓
↑
6 057.10 m
↓
S 51.727028°
W 23.818359°		 ← 6 053.47 m →
36 688 586 m²		 S 51.727028°
W 23.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4339599609375 y=0.6683349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4339599609375 × 212)
    floor (0.4339599609375 × 4096)
    floor (1777.5)     		tx = 1777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6683349609375 × 212)
    floor (0.6683349609375 × 4096)
    floor (2737.5)     		ty = 2737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1777 / 2737 ti = "12/1777/2737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1777/2737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1777 ÷ 212
    1777 ÷ 4096     		x = 0.433837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2737 ÷ 212
    2737 ÷ 4096     		y = 0.668212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.13232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41570879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668212890625 × 2 - 1) × π
    -0.33642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.056912762823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41570879} λ = -0.41570879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.056912762823))-π/2
    2×atan(0.347527054329208)-π/2
    2×0.33447005327788-π/2
    0.66894010655576-1.57079632675     		φ = -0.90185622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41570879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.818359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90185622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.672555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1777 KachelY 2737 -0.41570879 -0.90185622 -23.818359 -51.672555
    Oben rechts KachelX + 1 1778 KachelY 2737 -0.41417481 -0.90185622 -23.730469 -51.672555
    Unten links KachelX 1777 KachelY + 1 2738 -0.41570879 -0.90280695 -23.818359 -51.727028
    Unten rechts KachelX + 1 1778 KachelY + 1 2738 -0.41417481 -0.90280695 -23.730469 -51.727028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90185622--0.90280695) × R
    0.000950730000000011 × 6371000     		dl = 6057.10083000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90185622--0.90280695) × R
    0.000950730000000011 × 6371000     		dr = 6057.10083000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41570879--0.41417481) × cos(-0.90185622) × R
    0.00153397999999999 × 0.620154871134822 × 6371000     		do = 6060.76523312221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41570879--0.41417481) × cos(-0.90280695) × R
    0.00153397999999999 × 0.619408762868 × 6371000     		du = 6053.47352704333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90185622)-sin(-0.90280695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620154871134822-0.619408762868)×R²
    abs(-0.41417481--0.41570879)×0.000746108266822199×R²
    0.00153397999999999×0.000746108266822199×6371000²
    0.00153397999999999×0.000746108266822199×40589641000000     		ar = 36688585.5880373m²