Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1772 / 2804
↖ ↑ ↗
← S 55.178868°
W 24.257813°		 ← 5 580.54 m → S 55.178868°
W 24.169922°		 →
↑
5 576.98 m
↓
↑
5 576.98 m
↓
S 55.229023°
W 24.257813°		 ← 5 573.51 m →
31 102 960 m²		 S 55.229023°
W 24.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4327392578125 y=0.6846923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4327392578125 × 212)
    floor (0.4327392578125 × 4096)
    floor (1772.5)     		tx = 1772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6846923828125 × 212)
    floor (0.6846923828125 × 4096)
    floor (2804.5)     		ty = 2804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1772 / 2804 ti = "12/1772/2804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1772/2804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1772 ÷ 212
    1772 ÷ 4096     		x = 0.4326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2804 ÷ 212
    2804 ÷ 4096     		y = 0.6845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    -0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6845703125 × 2 - 1) × π
    -0.369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1596894756084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42337870} λ = -0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1596894756084))-π/2
    2×atan(0.313583541103779)-π/2
    2×0.303871704283662-π/2
    0.607743408567323-1.57079632675     		φ = -0.96305292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96305292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.178868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1772 KachelY 2804 -0.42337870 -0.96305292 -24.257813 -55.178868
    Oben rechts KachelX + 1 1773 KachelY 2804 -0.42184472 -0.96305292 -24.169922 -55.178868
    Unten links KachelX 1772 KachelY + 1 2805 -0.42337870 -0.96392829 -24.257813 -55.229023
    Unten rechts KachelX + 1 1773 KachelY + 1 2805 -0.42184472 -0.96392829 -24.169922 -55.229023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96305292--0.96392829) × R
    0.000875370000000042 × 6371000     		dl = 5576.98227000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96305292--0.96392829) × R
    0.000875370000000042 × 6371000     		dr = 5576.98227000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42337870--0.42184472) × cos(-0.96305292) × R
    0.00153397999999999 × 0.57101639094169 × 6371000     		do = 5580.53552563313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42337870--0.42184472) × cos(-0.96392829) × R
    0.00153397999999999 × 0.570297547182735 × 6371000     		du = 5573.51027522376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96305292)-sin(-0.96392829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57101639094169-0.570297547182735)×R²
    abs(-0.42184472--0.42337870)×0.000718843758954479×R²
    0.00153397999999999×0.000718843758954479×6371000²
    0.00153397999999999×0.000718843758954479×40589641000000     		ar = 31102959.8211878m²