Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1771 / 2803
↖ ↑ ↗
← S 55.128649°
W 24.345703°		 ← 5 587.57 m → S 55.128649°
W 24.257813°		 →
↑
5 584.05 m
↓
↑
5 584.05 m
↓
S 55.178868°
W 24.345703°		 ← 5 580.54 m →
31 181 642 m²		 S 55.178868°
W 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4324951171875 y=0.6844482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4324951171875 × 212)
    floor (0.4324951171875 × 4096)
    floor (1771.5)     		tx = 1771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6844482421875 × 212)
    floor (0.6844482421875 × 4096)
    floor (2803.5)     		ty = 2803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1771 / 2803 ti = "12/1771/2803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1771/2803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1771 ÷ 212
    1771 ÷ 4096     		x = 0.432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2803 ÷ 212
    2803 ÷ 4096     		y = 0.684326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684326171875 × 2 - 1) × π
    -0.36865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15815549482056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42491268} λ = -0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15815549482056))-π/2
    2×atan(0.314064941366194)-π/2
    2×0.304309944196094-π/2
    0.608619888392188-1.57079632675     		φ = -0.96217644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96217644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.128649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1771 KachelY 2803 -0.42491268 -0.96217644 -24.345703 -55.128649
    Oben rechts KachelX + 1 1772 KachelY 2803 -0.42337870 -0.96217644 -24.257813 -55.128649
    Unten links KachelX 1771 KachelY + 1 2804 -0.42491268 -0.96305292 -24.345703 -55.178868
    Unten rechts KachelX + 1 1772 KachelY + 1 2804 -0.42337870 -0.96305292 -24.257813 -55.178868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96217644--0.96305292) × R
    0.000876479999999957 × 6371000     		dl = 5584.05407999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96217644--0.96305292) × R
    0.000876479999999957 × 6371000     		dr = 5584.05407999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42491268--0.42337870) × cos(-0.96217644) × R
    0.00153397999999999 × 0.571735707832812 × 6371000     		do = 5587.56539995684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42491268--0.42337870) × cos(-0.96305292) × R
    0.00153397999999999 × 0.57101639094169 × 6371000     		du = 5580.53552563313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96217644)-sin(-0.96305292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571735707832812-0.57101639094169)×R²
    abs(-0.42337870--0.42491268)×0.000719316891122368×R²
    0.00153397999999999×0.000719316891122368×6371000²
    0.00153397999999999×0.000719316891122368×40589641000000     		ar = 31181641.7658835m²