Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17670 / 15613
↖ ↑ ↗
← N  8.439771°
E 14.128418°		 ← 1 208.41 m → N  8.439771°
E 14.139404°		 →
↑
1 208.39 m
↓
↑
1 208.39 m
↓
N  8.428904°
E 14.128418°		 ← 1 208.44 m →
1 460 248 m²		 N  8.428904°
E 14.139404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539260864257812 y=0.476486206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539260864257812 × 215)
    floor (0.539260864257812 × 32768)
    floor (17670.5)     		tx = 17670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476486206054688 × 215)
    floor (0.476486206054688 × 32768)
    floor (15613.5)     		ty = 15613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17670 / 15613 ti = "15/17670/15613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17670/15613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17670 ÷ 215
    17670 ÷ 32768     		x = 0.53924560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15613 ÷ 215
    15613 ÷ 32768     		y = 0.476470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53924560546875 × 2 - 1) × π
    0.0784912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24658741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476470947265625 × 2 - 1) × π
    0.04705810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.147837398428253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24658741} λ = 0.24658741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.147837398428253))-π/2
    2×atan(1.15932437307107)-π/2
    2×0.85904906465934-π/2
    1.71809812931868-1.57079632675     		φ = 0.14730180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24658741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.128418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14730180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.439771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17670 KachelY 15613 0.24658741 0.14730180 14.128418 8.439771
    Oben rechts KachelX + 1 17671 KachelY 15613 0.24677916 0.14730180 14.139404 8.439771
    Unten links KachelX 17670 KachelY + 1 15614 0.24658741 0.14711213 14.128418 8.428904
    Unten rechts KachelX + 1 17671 KachelY + 1 15614 0.24677916 0.14711213 14.139404 8.428904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14730180-0.14711213) × R
    0.000189670000000003 × 6371000     		dl = 1208.38757000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14730180-0.14711213) × R
    0.000189670000000003 × 6371000     		dr = 1208.38757000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24658741-0.24677916) × cos(0.14730180) × R
    0.000191749999999991 × 0.989170692151261 × 6371000     		do = 1208.40974248159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24658741-0.24677916) × cos(0.14711213) × R
    0.000191749999999991 × 0.989198512165559 × 6371000     		du = 1208.44372850299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14730180)-sin(0.14711213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989170692151261-0.989198512165559)×R²
    abs(0.24677916-0.24658741)×2.782001429813e-05×R²
    0.000191749999999991×2.782001429813e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.782001429813e-05×40589641000000     		ar = 1460247.85080217m²