Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17665 / 10998
↖ ↑ ↗
← N 50.805935°
E 14.073486°		 ← 772.01 m → N 50.805935°
E 14.084473°		 →
↑
772.04 m
↓
↑
772.04 m
↓
N 50.798992°
E 14.073486°		 ← 772.13 m →
596 068 m²		 N 50.798992°
E 14.084473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539108276367188 y=0.335647583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539108276367188 × 215)
    floor (0.539108276367188 × 32768)
    floor (17665.5)     		tx = 17665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335647583007812 × 215)
    floor (0.335647583007812 × 32768)
    floor (10998.5)     		ty = 10998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17665 / 10998 ti = "15/17665/10998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17665/10998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17665 ÷ 215
    17665 ÷ 32768     		x = 0.539093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10998 ÷ 215
    10998 ÷ 32768     		y = 0.33563232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539093017578125 × 2 - 1) × π
    0.07818603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24562867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33563232421875 × 2 - 1) × π
    0.3287353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03275256541449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24562867} λ = 0.24562867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03275256541449))-π/2
    2×atan(2.8087865726828)-π/2
    2×1.22876358365584-π/2
    2.45752716731169-1.57079632675     		φ = 0.88673084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24562867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.073486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88673084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.805935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17665 KachelY 10998 0.24562867 0.88673084 14.073486 50.805935
    Oben rechts KachelX + 1 17666 KachelY 10998 0.24582042 0.88673084 14.084473 50.805935
    Unten links KachelX 17665 KachelY + 1 10999 0.24562867 0.88660966 14.073486 50.798992
    Unten rechts KachelX + 1 17666 KachelY + 1 10999 0.24582042 0.88660966 14.084473 50.798992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88673084-0.88660966) × R
    0.000121180000000054 × 6371000     		dl = 772.037780000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88673084-0.88660966) × R
    0.000121180000000054 × 6371000     		dr = 772.037780000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24562867-0.24582042) × cos(0.88673084) × R
    0.000191750000000018 × 0.631949030534559 × 6371000     		do = 772.013739700539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24562867-0.24582042) × cos(0.88660966) × R
    0.000191750000000018 × 0.632042941600129 × 6371000     		du = 772.12846514425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88673084)-sin(0.88660966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631949030534559-0.632042941600129)×R²
    abs(0.24582042-0.24562867)×9.391106557044e-05×R²
    0.000191750000000018×9.391106557044e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.391106557044e-05×40589641000000     		ar = 596068.060646703m²