Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17663 / 15615
↖ ↑ ↗
← N  8.418036°
E 14.051514°		 ← 1 208.48 m → N  8.418036°
E 14.062500°		 →
↑
1 208.45 m
↓
↑
1 208.45 m
↓
N  8.407168°
E 14.051514°		 ← 1 208.51 m →
1 460 407 m²		 N  8.407168°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539047241210938 y=0.476547241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539047241210938 × 215)
    floor (0.539047241210938 × 32768)
    floor (17663.5)     		tx = 17663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476547241210938 × 215)
    floor (0.476547241210938 × 32768)
    floor (15615.5)     		ty = 15615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17663 / 15615 ti = "15/17663/15615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17663/15615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17663 ÷ 215
    17663 ÷ 32768     		x = 0.539031982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15615 ÷ 215
    15615 ÷ 32768     		y = 0.476531982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539031982421875 × 2 - 1) × π
    0.07806396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24524518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476531982421875 × 2 - 1) × π
    0.04693603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.147453903231293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24524518} λ = 0.24524518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.147453903231293))-π/2
    2×atan(1.15887986298147)-π/2
    2×0.858859388221289-π/2
    1.71771877644258-1.57079632675     		φ = 0.14692245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24524518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.051514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14692245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.418036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17663 KachelY 15615 0.24524518 0.14692245 14.051514 8.418036
    Oben rechts KachelX + 1 17664 KachelY 15615 0.24543693 0.14692245 14.062500 8.418036
    Unten links KachelX 17663 KachelY + 1 15616 0.24524518 0.14673277 14.051514 8.407168
    Unten rechts KachelX + 1 17664 KachelY + 1 15616 0.24543693 0.14673277 14.062500 8.407168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14692245-0.14673277) × R
    0.000189679999999998 × 6371000     		dl = 1208.45127999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14692245-0.14673277) × R
    0.000189679999999998 × 6371000     		dr = 1208.45127999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24524518-0.24543693) × cos(0.14692245) × R
    0.000191749999999991 × 0.989226298057673 × 6371000     		do = 1208.47767283939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24524518-0.24543693) × cos(0.14673277) × R
    0.000191749999999991 × 0.989254048358907 × 6371000     		du = 1208.51157369658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14692245)-sin(0.14673277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989226298057673-0.989254048358907)×R²
    abs(0.24543693-0.24524518)×2.77503012335867e-05×R²
    0.000191749999999991×2.77503012335867e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.77503012335867e-05×40589641000000     		ar = 1460406.87873971m²