Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17661 / 15610
↖ ↑ ↗
← N  8.472372°
E 14.029541°		 ← 1 208.31 m → N  8.472372°
E 14.040527°		 →
↑
1 208.32 m
↓
↑
1 208.32 m
↓
N  8.461505°
E 14.029541°		 ← 1 208.34 m →
1 460 047 m²		 N  8.461505°
E 14.040527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538986206054688 y=0.476394653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538986206054688 × 215)
    floor (0.538986206054688 × 32768)
    floor (17661.5)     		tx = 17661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476394653320312 × 215)
    floor (0.476394653320312 × 32768)
    floor (15610.5)     		ty = 15610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17661 / 15610 ti = "15/17661/15610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17661/15610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17661 ÷ 215
    17661 ÷ 32768     		x = 0.538970947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15610 ÷ 215
    15610 ÷ 32768     		y = 0.47637939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538970947265625 × 2 - 1) × π
    0.07794189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24486168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47637939453125 × 2 - 1) × π
    0.0472412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.148412641223694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24486168} λ = 0.24486168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.148412641223694))-π/2
    2×atan(1.15999145791374)-π/2
    2×0.859333559291087-π/2
    1.71866711858217-1.57079632675     		φ = 0.14787079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24486168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.029541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14787079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.472372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17661 KachelY 15610 0.24486168 0.14787079 14.029541 8.472372
    Oben rechts KachelX + 1 17662 KachelY 15610 0.24505343 0.14787079 14.040527 8.472372
    Unten links KachelX 17661 KachelY + 1 15611 0.24486168 0.14768113 14.029541 8.461505
    Unten rechts KachelX + 1 17662 KachelY + 1 15611 0.24505343 0.14768113 14.040527 8.461505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14787079-0.14768113) × R
    0.000189660000000008 × 6371000     		dl = 1208.32386000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14787079-0.14768113) × R
    0.000189660000000008 × 6371000     		dr = 1208.32386000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24486168-0.24505343) × cos(0.14787079) × R
    0.000191749999999991 × 0.989087021548261 × 6371000     		do = 1208.30752718889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24486168-0.24505343) × cos(0.14768113) × R
    0.000191749999999991 × 0.989114946839733 × 6371000     		du = 1208.34164182102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14787079)-sin(0.14768113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989087021548261-0.989114946839733)×R²
    abs(0.24505343-0.24486168)×2.79252914723305e-05×R²
    0.000191749999999991×2.79252914723305e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.79252914723305e-05×40589641000000     		ar = 1460047.43045858m²