Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17661 / 15604
↖ ↑ ↗
← N  8.537566°
E 14.029541°		 ← 1 208.10 m → N  8.537566°
E 14.040527°		 →
↑
1 208.13 m
↓
↑
1 208.13 m
↓
N  8.526701°
E 14.029541°		 ← 1 208.14 m →
1 459 568 m²		 N  8.526701°
E 14.040527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538986206054688 y=0.476211547851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538986206054688 × 215)
    floor (0.538986206054688 × 32768)
    floor (17661.5)     		tx = 17661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476211547851562 × 215)
    floor (0.476211547851562 × 32768)
    floor (15604.5)     		ty = 15604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17661 / 15604 ti = "15/17661/15604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17661/15604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17661 ÷ 215
    17661 ÷ 32768     		x = 0.538970947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15604 ÷ 215
    15604 ÷ 32768     		y = 0.4761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538970947265625 × 2 - 1) × π
    0.07794189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24486168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4761962890625 × 2 - 1) × π
    0.047607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.149563126814575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24486168} λ = 0.24486168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.149563126814575))-π/2
    2×atan(1.16132677935837)-π/2
    2×0.859902476133192-π/2
    1.71980495226638-1.57079632675     		φ = 0.14900863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24486168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.029541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14900863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.537566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17661 KachelY 15604 0.24486168 0.14900863 14.029541 8.537566
    Oben rechts KachelX + 1 17662 KachelY 15604 0.24505343 0.14900863 14.040527 8.537566
    Unten links KachelX 17661 KachelY + 1 15605 0.24486168 0.14881900 14.029541 8.526701
    Unten rechts KachelX + 1 17662 KachelY + 1 15605 0.24505343 0.14881900 14.040527 8.526701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14900863-0.14881900) × R
    0.000189629999999996 × 6371000     		dl = 1208.13272999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14900863-0.14881900) × R
    0.000189629999999996 × 6371000     		dr = 1208.13272999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24486168-0.24505343) × cos(0.14900863) × R
    0.000191749999999991 × 0.98891874050394 × 6371000     		do = 1208.10194846012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24486168-0.24505343) × cos(0.14881900) × R
    0.000191749999999991 × 0.988946874779879 × 6371000     		du = 1208.13631839588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14900863)-sin(0.14881900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98891874050394-0.988946874779879)×R²
    abs(0.24505343-0.24486168)×2.81342759385073e-05×R²
    0.000191749999999991×2.81342759385073e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.81342759385073e-05×40589641000000     		ar = 1459568.27120729m²