Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17659 / 15605
↖ ↑ ↗
← N  8.526701°
E 14.007568°		 ← 1 208.14 m → N  8.526701°
E 14.018555°		 →
↑
1 208.13 m
↓
↑
1 208.13 m
↓
N  8.515836°
E 14.007568°		 ← 1 208.17 m →
1 459 610 m²		 N  8.515836°
E 14.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538925170898438 y=0.476242065429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538925170898438 × 215)
    floor (0.538925170898438 × 32768)
    floor (17659.5)     		tx = 17659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476242065429688 × 215)
    floor (0.476242065429688 × 32768)
    floor (15605.5)     		ty = 15605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17659 / 15605 ti = "15/17659/15605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17659/15605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17659 ÷ 215
    17659 ÷ 32768     		x = 0.538909912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15605 ÷ 215
    15605 ÷ 32768     		y = 0.476226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538909912109375 × 2 - 1) × π
    0.07781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24447819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476226806640625 × 2 - 1) × π
    0.04754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.149371379216095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24447819} λ = 0.24447819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.149371379216095))-π/2
    2×atan(1.16110411908534)-π/2
    2×0.85980766338742-π/2
    1.71961532677484-1.57079632675     		φ = 0.14881900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24447819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.007568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14881900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.526701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17659 KachelY 15605 0.24447819 0.14881900 14.007568 8.526701
    Oben rechts KachelX + 1 17660 KachelY 15605 0.24466994 0.14881900 14.018555 8.526701
    Unten links KachelX 17659 KachelY + 1 15606 0.24447819 0.14862937 14.007568 8.515836
    Unten rechts KachelX + 1 17660 KachelY + 1 15606 0.24466994 0.14862937 14.018555 8.515836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14881900-0.14862937) × R
    0.000189629999999996 × 6371000     		dl = 1208.13272999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14881900-0.14862937) × R
    0.000189629999999996 × 6371000     		dr = 1208.13272999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24447819-0.24466994) × cos(0.14881900) × R
    0.000191749999999991 × 0.988946874779879 × 6371000     		do = 1208.13631839588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24447819-0.24466994) × cos(0.14862937) × R
    0.000191749999999991 × 0.988974973493746 × 6371000     		du = 1208.17064488761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14881900)-sin(0.14862937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988946874779879-0.988974973493746)×R²
    abs(0.24466994-0.24447819)×2.80987138669975e-05×R²
    0.000191749999999991×2.80987138669975e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.80987138669975e-05×40589641000000     		ar = 1459609.76840866m²