Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17650 / 10990
↖ ↑ ↗
← N 50.861444°
E 13.908691°		 ← 771.10 m → N 50.861444°
E 13.919678°		 →
↑
771.15 m
↓
↑
771.15 m
↓
N 50.854509°
E 13.908691°		 ← 771.21 m →
594 672 m²		 N 50.854509°
E 13.919678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538650512695312 y=0.335403442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538650512695312 × 215)
    floor (0.538650512695312 × 32768)
    floor (17650.5)     		tx = 17650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335403442382812 × 215)
    floor (0.335403442382812 × 32768)
    floor (10990.5)     		ty = 10990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17650 / 10990 ti = "15/17650/10990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17650/10990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17650 ÷ 215
    17650 ÷ 32768     		x = 0.53863525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10990 ÷ 215
    10990 ÷ 32768     		y = 0.33538818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53863525390625 × 2 - 1) × π
    0.0772705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24275246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33538818359375 × 2 - 1) × π
    0.3292236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03428654620233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24275246} λ = 0.24275246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03428654620233))-π/2
    2×atan(2.81309850368657)-π/2
    2×1.22924799441255-π/2
    2.4584959888251-1.57079632675     		φ = 0.88769966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24275246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.908691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88769966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.861444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17650 KachelY 10990 0.24275246 0.88769966 13.908691 50.861444
    Oben rechts KachelX + 1 17651 KachelY 10990 0.24294421 0.88769966 13.919678 50.861444
    Unten links KachelX 17650 KachelY + 1 10991 0.24275246 0.88757862 13.908691 50.854509
    Unten rechts KachelX + 1 17651 KachelY + 1 10991 0.24294421 0.88757862 13.919678 50.854509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88769966-0.88757862) × R
    0.000121040000000017 × 6371000     		dl = 771.145840000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88769966-0.88757862) × R
    0.000121040000000017 × 6371000     		dr = 771.145840000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24275246-0.24294421) × cos(0.88769966) × R
    0.000191749999999991 × 0.63119788893462 × 6371000     		do = 771.096115639634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24275246-0.24294421) × cos(0.88757862) × R
    0.000191749999999991 × 0.631291765577097 × 6371000     		du = 771.210799030743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88769966)-sin(0.88757862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63119788893462-0.631291765577097)×R²
    abs(0.24294421-0.24275246)×9.38766424772863e-05×R²
    0.000191749999999991×9.38766424772863e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.38766424772863e-05×40589641000000     		ar = 594671.781352099m²