Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1764 / 2845
↖ ↑ ↗
← S 57.183902°
W 24.960937°		 ← 5 296.41 m → S 57.183902°
W 24.873047°		 →
↑
5 292.96 m
↓
↑
5 292.96 m
↓
S 57.231503°
W 24.960937°		 ← 5 289.59 m →
28 015 667 m²		 S 57.231503°
W 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4307861328125 y=0.6947021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4307861328125 × 212)
    floor (0.4307861328125 × 4096)
    floor (1764.5)     		tx = 1764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6947021484375 × 212)
    floor (0.6947021484375 × 4096)
    floor (2845.5)     		ty = 2845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1764 / 2845 ti = "12/1764/2845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1764/2845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1764 ÷ 212
    1764 ÷ 4096     		x = 0.4306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2845 ÷ 212
    2845 ÷ 4096     		y = 0.694580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4306640625 × 2 - 1) × π
    -0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.694580078125 × 2 - 1) × π
    -0.38916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.22258268790991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43565054} λ = -0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.22258268790991))-π/2
    2×atan(0.294468663327611)-π/2
    2×0.286374480124494-π/2
    0.572748960248988-1.57079632675     		φ = -0.99804737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99804737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.183902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1764 KachelY 2845 -0.43565054 -0.99804737 -24.960937 -57.183902
    Oben rechts KachelX + 1 1765 KachelY 2845 -0.43411656 -0.99804737 -24.873047 -57.183902
    Unten links KachelX 1764 KachelY + 1 2846 -0.43565054 -0.99887816 -24.960937 -57.231503
    Unten rechts KachelX + 1 1765 KachelY + 1 2846 -0.43411656 -0.99887816 -24.873047 -57.231503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99804737--0.99887816) × R
    0.00083078999999997 × 6371000     		dl = 5292.96308999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99804737--0.99887816) × R
    0.00083078999999997 × 6371000     		dr = 5292.96308999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43565054--0.43411656) × cos(-0.99804737) × R
    0.00153397999999999 × 0.541944356290851 × 6371000     		do = 5296.41492113719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43565054--0.43411656) × cos(-0.99887816) × R
    0.00153397999999999 × 0.541245961487789 × 6371000     		du = 5289.58951809933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99804737)-sin(-0.99887816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541944356290851-0.541245961487789)×R²
    abs(-0.43411656--0.43565054)×0.000698394803061664×R²
    0.00153397999999999×0.000698394803061664×6371000²
    0.00153397999999999×0.000698394803061664×40589641000000     		ar = 28015666.9951233m²