Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1764 / 2844
↖ ↑ ↗
← S 57.136239°
W 24.960937°		 ← 5 303.25 m → S 57.136239°
W 24.873047°		 →
↑
5 299.84 m
↓
↑
5 299.84 m
↓
S 57.183902°
W 24.960937°		 ← 5 296.41 m →
28 088 274 m²		 S 57.183902°
W 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4307861328125 y=0.6944580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4307861328125 × 212)
    floor (0.4307861328125 × 4096)
    floor (1764.5)     		tx = 1764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6944580078125 × 212)
    floor (0.6944580078125 × 4096)
    floor (2844.5)     		ty = 2844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1764 / 2844 ti = "12/1764/2844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1764/2844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1764 ÷ 212
    1764 ÷ 4096     		x = 0.4306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2844 ÷ 212
    2844 ÷ 4096     		y = 0.6943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4306640625 × 2 - 1) × π
    -0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6943359375 × 2 - 1) × π
    -0.388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.22104870712207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43565054} λ = -0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.22104870712207))-π/2
    2×atan(0.29492071923367)-π/2
    2×0.286790414243373-π/2
    0.573580828486746-1.57079632675     		φ = -0.99721550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99721550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.136239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1764 KachelY 2844 -0.43565054 -0.99721550 -24.960937 -57.136239
    Oben rechts KachelX + 1 1765 KachelY 2844 -0.43411656 -0.99721550 -24.873047 -57.136239
    Unten links KachelX 1764 KachelY + 1 2845 -0.43565054 -0.99804737 -24.960937 -57.183902
    Unten rechts KachelX + 1 1765 KachelY + 1 2845 -0.43411656 -0.99804737 -24.873047 -57.183902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99721550--0.99804737) × R
    0.000831869999999957 × 6371000     		dl = 5299.84376999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99721550--0.99804737) × R
    0.000831869999999957 × 6371000     		dr = 5299.84376999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43565054--0.43411656) × cos(-0.99721550) × R
    0.00153397999999999 × 0.542643284198053 × 6371000     		do = 5303.24553419466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43565054--0.43411656) × cos(-0.99804737) × R
    0.00153397999999999 × 0.541944356290851 × 6371000     		du = 5296.41492113719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99721550)-sin(-0.99804737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542643284198053-0.541944356290851)×R²
    abs(-0.43411656--0.43565054)×0.000698927907201496×R²
    0.00153397999999999×0.000698927907201496×6371000²
    0.00153397999999999×0.000698927907201496×40589641000000     		ar = 28088273.8339215m²