Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17626 / 10966
↖ ↑ ↗
← N 51.027577°
E 13.645020°		 ← 768.31 m → N 51.027577°
E 13.656006°		 →
↑
768.41 m
↓
↑
768.41 m
↓
N 51.020666°
E 13.645020°		 ← 768.42 m →
590 415 m²		 N 51.020666°
E 13.656006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537918090820312 y=0.334671020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537918090820312 × 215)
    floor (0.537918090820312 × 32768)
    floor (17626.5)     		tx = 17626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334671020507812 × 215)
    floor (0.334671020507812 × 32768)
    floor (10966.5)     		ty = 10966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17626 / 10966 ti = "15/17626/10966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17626/10966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17626 ÷ 215
    17626 ÷ 32768     		x = 0.53790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10966 ÷ 215
    10966 ÷ 32768     		y = 0.33465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53790283203125 × 2 - 1) × π
    0.0758056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23815052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33465576171875 × 2 - 1) × π
    0.3306884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03888848856586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23815052} λ = 0.23815052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03888848856586))-π/2
    2×atan(2.82607405433202)-π/2
    2×1.23069777159181-π/2
    2.46139554318362-1.57079632675     		φ = 0.89059922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23815052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.645020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89059922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.027577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17626 KachelY 10966 0.23815052 0.89059922 13.645020 51.027577
    Oben rechts KachelX + 1 17627 KachelY 10966 0.23834226 0.89059922 13.656006 51.027577
    Unten links KachelX 17626 KachelY + 1 10967 0.23815052 0.89047861 13.645020 51.020666
    Unten rechts KachelX + 1 17627 KachelY + 1 10967 0.23834226 0.89047861 13.656006 51.020666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89059922-0.89047861) × R
    0.000120610000000076 × 6371000     		dl = 768.406310000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89059922-0.89047861) × R
    0.000120610000000076 × 6371000     		dr = 768.406310000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23815052-0.23834226) × cos(0.89059922) × R
    0.000191739999999996 × 0.628946276669221 × 6371000     		do = 768.305387553177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23815052-0.23834226) × cos(0.89047861) × R
    0.000191739999999996 × 0.629040040189884 × 6371000     		du = 768.419926776562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89059922)-sin(0.89047861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628946276669221-0.629040040189884)×R²
    abs(0.23834226-0.23815052)×9.3763520662149e-05×R²
    0.000191739999999996×9.3763520662149e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.3763520662149e-05×40589641000000     		ar = 590414.714850108m²