Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17622 / 10962
↖ ↑ ↗
← N 51.055207°
E 13.601074°		 ← 767.85 m → N 51.055207°
E 13.612060°		 →
↑
767.96 m
↓
↑
767.96 m
↓
N 51.048301°
E 13.601074°		 ← 767.96 m →
589 720 m²		 N 51.048301°
E 13.612060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537796020507812 y=0.334548950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537796020507812 × 215)
    floor (0.537796020507812 × 32768)
    floor (17622.5)     		tx = 17622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334548950195312 × 215)
    floor (0.334548950195312 × 32768)
    floor (10962.5)     		ty = 10962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17622 / 10962 ti = "15/17622/10962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17622/10962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17622 ÷ 215
    17622 ÷ 32768     		x = 0.53778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10962 ÷ 215
    10962 ÷ 32768     		y = 0.33453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53778076171875 × 2 - 1) × π
    0.0755615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23738353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33453369140625 × 2 - 1) × π
    0.3309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03965547895978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23738353} λ = 0.23738353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03965547895978))-π/2
    2×atan(2.82824245745008)-π/2
    2×1.23093889756145-π/2
    2.4618777951229-1.57079632675     		φ = 0.89108147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23738353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89108147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.055207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17622 KachelY 10962 0.23738353 0.89108147 13.601074 51.055207
    Oben rechts KachelX + 1 17623 KachelY 10962 0.23757527 0.89108147 13.612060 51.055207
    Unten links KachelX 17622 KachelY + 1 10963 0.23738353 0.89096093 13.601074 51.048301
    Unten rechts KachelX + 1 17623 KachelY + 1 10963 0.23757527 0.89096093 13.612060 51.048301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89108147-0.89096093) × R
    0.000120540000000058 × 6371000     		dl = 767.960340000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89108147-0.89096093) × R
    0.000120540000000058 × 6371000     		dr = 767.960340000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23738353-0.23757527) × cos(0.89108147) × R
    0.000191739999999996 × 0.628571278881721 × 6371000     		do = 767.847299428412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23738353-0.23757527) × cos(0.89096093) × R
    0.000191739999999996 × 0.628665024539012 × 6371000     		du = 767.961816830341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89108147)-sin(0.89096093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628571278881721-0.628665024539012)×R²
    abs(0.23757527-0.23738353)×9.37456572911444e-05×R²
    0.000191739999999996×9.37456572911444e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.37456572911444e-05×40589641000000     		ar = 589720.246262309m²