Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17581 / 10973
↖ ↑ ↗
← N 50.979182°
E 13.150635°		 ← 769.11 m → N 50.979182°
E 13.161621°		 →
↑
769.17 m
↓
↑
769.17 m
↓
N 50.972265°
E 13.150635°		 ← 769.22 m →
591 619 m²		 N 50.972265°
E 13.161621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536544799804688 y=0.334884643554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536544799804688 × 215)
    floor (0.536544799804688 × 32768)
    floor (17581.5)     		tx = 17581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334884643554688 × 215)
    floor (0.334884643554688 × 32768)
    floor (10973.5)     		ty = 10973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17581 / 10973 ti = "15/17581/10973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17581/10973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17581 ÷ 215
    17581 ÷ 32768     		x = 0.536529541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10973 ÷ 215
    10973 ÷ 32768     		y = 0.334869384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536529541015625 × 2 - 1) × π
    0.07305908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22952188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334869384765625 × 2 - 1) × π
    0.33026123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0375462553765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22952188} λ = 0.22952188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0375462553765))-π/2
    2×atan(2.82228334851539)-π/2
    2×1.23027545504763-π/2
    2.46055091009526-1.57079632675     		φ = 0.88975458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22952188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.150635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88975458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.979182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17581 KachelY 10973 0.22952188 0.88975458 13.150635 50.979182
    Oben rechts KachelX + 1 17582 KachelY 10973 0.22971362 0.88975458 13.161621 50.979182
    Unten links KachelX 17581 KachelY + 1 10974 0.22952188 0.88963385 13.150635 50.972265
    Unten rechts KachelX + 1 17582 KachelY + 1 10974 0.22971362 0.88963385 13.161621 50.972265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88975458-0.88963385) × R
    0.000120730000000013 × 6371000     		dl = 769.170830000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88975458-0.88963385) × R
    0.000120730000000013 × 6371000     		dr = 769.170830000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22952188-0.22971362) × cos(0.88975458) × R
    0.000191739999999996 × 0.62960271656501 × 6371000     		do = 769.107278473352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22952188-0.22971362) × cos(0.88963385) × R
    0.000191739999999996 × 0.629696509196376 × 6371000     		du = 769.221853257662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88975458)-sin(0.88963385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62960271656501-0.629696509196376)×R²
    abs(0.22971362-0.22952188)×9.37926313662185e-05×R²
    0.000191739999999996×9.37926313662185e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.37926313662185e-05×40589641000000     		ar = 591618.948252363m²