Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17561 / 10709
↖ ↑ ↗
← N 52.769539°
E 12.930908°		 ← 739.12 m → N 52.769539°
E 12.941894°		 →
↑
739.16 m
↓
↑
739.16 m
↓
N 52.762892°
E 12.930908°		 ← 739.23 m →
546 372 m²		 N 52.762892°
E 12.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535934448242188 y=0.326828002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535934448242188 × 215)
    floor (0.535934448242188 × 32768)
    floor (17561.5)     		tx = 17561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326828002929688 × 215)
    floor (0.326828002929688 × 32768)
    floor (10709.5)     		ty = 10709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17561 / 10709 ti = "15/17561/10709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17561/10709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17561 ÷ 215
    17561 ÷ 32768     		x = 0.535919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10709 ÷ 215
    10709 ÷ 32768     		y = 0.326812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535919189453125 × 2 - 1) × π
    0.07183837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22568692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326812744140625 × 2 - 1) × π
    0.34637451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08816762137527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22568692} λ = 0.22568692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08816762137527))-π/2
    2×atan(2.9688290665083)-π/2
    2×1.24589926546855-π/2
    2.49179853093711-1.57079632675     		φ = 0.92100220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22568692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92100220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.769539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17561 KachelY 10709 0.22568692 0.92100220 12.930908 52.769539
    Oben rechts KachelX + 1 17562 KachelY 10709 0.22587867 0.92100220 12.941894 52.769539
    Unten links KachelX 17561 KachelY + 1 10710 0.22568692 0.92088618 12.930908 52.762892
    Unten rechts KachelX + 1 17562 KachelY + 1 10710 0.22587867 0.92088618 12.941894 52.762892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92100220-0.92088618) × R
    0.000116019999999994 × 6371000     		dl = 739.163419999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92100220-0.92088618) × R
    0.000116019999999994 × 6371000     		dr = 739.163419999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22568692-0.22587867) × cos(0.92100220) × R
    0.000191749999999991 × 0.605022500589017 × 6371000     		do = 739.119233852654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22568692-0.22587867) × cos(0.92088618) × R
    0.000191749999999991 × 0.605114872612289 × 6371000     		du = 739.232079141886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92100220)-sin(0.92088618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605022500589017-0.605114872612289)×R²
    abs(0.22587867-0.22568692)×9.23720232727243e-05×R²
    0.000191749999999991×9.23720232727243e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.23720232727243e-05×40589641000000     		ar = 546371.606849585m²