Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17553 / 10961
↖ ↑ ↗
← N 51.062113°
E 12.843017°		 ← 767.77 m → N 51.062113°
E 12.854004°		 →
↑
767.83 m
↓
↑
767.83 m
↓
N 51.055207°
E 12.843017°		 ← 767.89 m →
589 565 m²		 N 51.055207°
E 12.854004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535690307617188 y=0.334518432617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535690307617188 × 215)
    floor (0.535690307617188 × 32768)
    floor (17553.5)     		tx = 17553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334518432617188 × 215)
    floor (0.334518432617188 × 32768)
    floor (10961.5)     		ty = 10961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17553 / 10961 ti = "15/17553/10961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17553/10961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17553 ÷ 215
    17553 ÷ 32768     		x = 0.535675048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10961 ÷ 215
    10961 ÷ 32768     		y = 0.334503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535675048828125 × 2 - 1) × π
    0.07135009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22415294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334503173828125 × 2 - 1) × π
    0.33099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03984722655826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22415294} λ = 0.22415294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03984722655826))-π/2
    2×atan(2.82878481814573)-π/2
    2×1.23099915658464-π/2
    2.46199831316928-1.57079632675     		φ = 0.89120199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22415294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.843017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89120199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.062113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17553 KachelY 10961 0.22415294 0.89120199 12.843017 51.062113
    Oben rechts KachelX + 1 17554 KachelY 10961 0.22434469 0.89120199 12.854004 51.062113
    Unten links KachelX 17553 KachelY + 1 10962 0.22415294 0.89108147 12.843017 51.055207
    Unten rechts KachelX + 1 17554 KachelY + 1 10962 0.22434469 0.89108147 12.854004 51.055207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89120199-0.89108147) × R
    0.000120519999999957 × 6371000     		dl = 767.832919999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89120199-0.89108147) × R
    0.000120519999999957 × 6371000     		dr = 767.832919999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22415294-0.22434469) × cos(0.89120199) × R
    0.000191750000000018 × 0.628477539647912 × 6371000     		do = 767.772830177394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22415294-0.22434469) × cos(0.89108147) × R
    0.000191750000000018 × 0.628571278881721 × 6371000     		du = 767.88734570468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89120199)-sin(0.89108147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628477539647912-0.628571278881721)×R²
    abs(0.22434469-0.22415294)×9.37392338088427e-05×R²
    0.000191750000000018×9.37392338088427e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.37392338088427e-05×40589641000000     		ar = 589565.219201225m²