Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17513 / 10721
↖ ↑ ↗
← N 52.689702°
E 12.403565°		 ← 740.47 m → N 52.689702°
E 12.414551°		 →
↑
740.50 m
↓
↑
740.50 m
↓
N 52.683043°
E 12.403565°		 ← 740.59 m →
548 364 m²		 N 52.683043°
E 12.414551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534469604492188 y=0.327194213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534469604492188 × 215)
    floor (0.534469604492188 × 32768)
    floor (17513.5)     		tx = 17513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327194213867188 × 215)
    floor (0.327194213867188 × 32768)
    floor (10721.5)     		ty = 10721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17513 / 10721 ti = "15/17513/10721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17513/10721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17513 ÷ 215
    17513 ÷ 32768     		x = 0.534454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10721 ÷ 215
    10721 ÷ 32768     		y = 0.327178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534454345703125 × 2 - 1) × π
    0.06890869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21648304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327178955078125 × 2 - 1) × π
    0.34564208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08586665019351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21648304} λ = 0.21648304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08586665019351))-π/2
    2×atan(2.96200572954404)-π/2
    2×1.24520255802096-π/2
    2.49040511604191-1.57079632675     		φ = 0.91960879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21648304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.403565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91960879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.689702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17513 KachelY 10721 0.21648304 0.91960879 12.403565 52.689702
    Oben rechts KachelX + 1 17514 KachelY 10721 0.21667479 0.91960879 12.414551 52.689702
    Unten links KachelX 17513 KachelY + 1 10722 0.21648304 0.91949256 12.403565 52.683043
    Unten rechts KachelX + 1 17514 KachelY + 1 10722 0.21667479 0.91949256 12.414551 52.683043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91960879-0.91949256) × R
    0.000116229999999939 × 6371000     		dl = 740.501329999614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91960879-0.91949256) × R
    0.000116229999999939 × 6371000     		dr = 740.501329999614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21648304-0.21667479) × cos(0.91960879) × R
    0.000191750000000018 × 0.606131357586346 × 6371000     		do = 740.473857083336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21648304-0.21667479) × cos(0.91949256) × R
    0.000191750000000018 × 0.606223798714272 × 6371000     		du = 740.586786793525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91960879)-sin(0.91949256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606131357586346-0.606223798714272)×R²
    abs(0.21667479-0.21648304)×9.24411279261683e-05×R²
    0.000191750000000018×9.24411279261683e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.24411279261683e-05×40589641000000     		ar = 548363.688917655m²