Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17482 / 10726
↖ ↑ ↗
← N 52.656394°
E 12.062988°		 ← 741.04 m → N 52.656394°
E 12.073975°		 →
↑
741.14 m
↓
↑
741.14 m
↓
N 52.649729°
E 12.062988°		 ← 741.15 m →
549 254 m²		 N 52.649729°
E 12.073975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533523559570312 y=0.327346801757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533523559570312 × 215)
    floor (0.533523559570312 × 32768)
    floor (17482.5)     		tx = 17482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327346801757812 × 215)
    floor (0.327346801757812 × 32768)
    floor (10726.5)     		ty = 10726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17482 / 10726 ti = "15/17482/10726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17482/10726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17482 ÷ 215
    17482 ÷ 32768     		x = 0.53350830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10726 ÷ 215
    10726 ÷ 32768     		y = 0.32733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53350830078125 × 2 - 1) × π
    0.0670166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21053886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32733154296875 × 2 - 1) × π
    0.3453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08490791220111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21053886} λ = 0.21053886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08490791220111))-π/2
    2×atan(2.95916730298852)-π/2
    2×1.24491188664549-π/2
    2.48982377329097-1.57079632675     		φ = 0.91902745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21053886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.062988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91902745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.656394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17482 KachelY 10726 0.21053886 0.91902745 12.062988 52.656394
    Oben rechts KachelX + 1 17483 KachelY 10726 0.21073061 0.91902745 12.073975 52.656394
    Unten links KachelX 17482 KachelY + 1 10727 0.21053886 0.91891112 12.062988 52.649729
    Unten rechts KachelX + 1 17483 KachelY + 1 10727 0.21073061 0.91891112 12.073975 52.649729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91902745-0.91891112) × R
    0.000116329999999998 × 6371000     		dl = 741.138429999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91902745-0.91891112) × R
    0.000116329999999998 × 6371000     		dr = 741.138429999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21053886-0.21073061) × cos(0.91902745) × R
    0.000191750000000018 × 0.606593632368516 × 6371000     		do = 741.03859010152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21053886-0.21073061) × cos(0.91891112) × R
    0.000191750000000018 × 0.606686112016072 × 6371000     		du = 741.151566868801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91902745)-sin(0.91891112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606593632368516-0.606686112016072)×R²
    abs(0.21073061-0.21053886)×9.24796475566536e-05×R²
    0.000191750000000018×9.24796475566536e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.24796475566536e-05×40589641000000     		ar = 549254.043568325m²