Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17413 / 10697
↖ ↑ ↗
← N 52.849230°
E 11.304932°		 ← 737.77 m → N 52.849230°
E 11.315918°		 →
↑
737.83 m
↓
↑
737.83 m
↓
N 52.842595°
E 11.304932°		 ← 737.88 m →
544 384 m²		 N 52.842595°
E 11.315918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531417846679688 y=0.326461791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531417846679688 × 215)
    floor (0.531417846679688 × 32768)
    floor (17413.5)     		tx = 17413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326461791992188 × 215)
    floor (0.326461791992188 × 32768)
    floor (10697.5)     		ty = 10697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17413 / 10697 ti = "15/17413/10697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17413/10697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17413 ÷ 215
    17413 ÷ 32768     		x = 0.531402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10697 ÷ 215
    10697 ÷ 32768     		y = 0.326446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531402587890625 × 2 - 1) × π
    0.06280517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19730828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326446533203125 × 2 - 1) × π
    0.34710693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09046859255704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19730828} λ = 0.19730828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09046859255704))-π/2
    2×atan(2.97566812185111)-π/2
    2×1.24659469768063-π/2
    2.49318939536127-1.57079632675     		φ = 0.92239307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19730828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.304932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92239307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.849230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17413 KachelY 10697 0.19730828 0.92239307 11.304932 52.849230
    Oben rechts KachelX + 1 17414 KachelY 10697 0.19750003 0.92239307 11.315918 52.849230
    Unten links KachelX 17413 KachelY + 1 10698 0.19730828 0.92227726 11.304932 52.842595
    Unten rechts KachelX + 1 17414 KachelY + 1 10698 0.19750003 0.92227726 11.315918 52.842595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92239307-0.92227726) × R
    0.000115810000000049 × 6371000     		dl = 737.825510000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92239307-0.92227726) × R
    0.000115810000000049 × 6371000     		dr = 737.825510000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19730828-0.19750003) × cos(0.92239307) × R
    0.000191749999999991 × 0.603914493392065 × 6371000     		do = 737.765648771576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19730828-0.19750003) × cos(0.92227726) × R
    0.000191749999999991 × 0.604006795599517 × 6371000     		du = 737.878408771061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92239307)-sin(0.92227726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603914493392065-0.604006795599517)×R²
    abs(0.19750003-0.19730828)×9.23022074522661e-05×R²
    0.000191749999999991×9.23022074522661e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.23022074522661e-05×40589641000000     		ar = 544383.915275984m²