Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17410 / 10698
↖ ↑ ↗
← N 52.842595°
E 11.271973°		 ← 737.84 m → N 52.842595°
E 11.282959°		 →
↑
737.95 m
↓
↑
737.95 m
↓
N 52.835958°
E 11.271973°		 ← 737.95 m →
544 533 m²		 N 52.835958°
E 11.282959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531326293945312 y=0.326492309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531326293945312 × 215)
    floor (0.531326293945312 × 32768)
    floor (17410.5)     		tx = 17410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326492309570312 × 215)
    floor (0.326492309570312 × 32768)
    floor (10698.5)     		ty = 10698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17410 / 10698 ti = "15/17410/10698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17410/10698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17410 ÷ 215
    17410 ÷ 32768     		x = 0.53131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10698 ÷ 215
    10698 ÷ 32768     		y = 0.32647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53131103515625 × 2 - 1) × π
    0.0626220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19673304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32647705078125 × 2 - 1) × π
    0.3470458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09027684495856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19673304} λ = 0.19673304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09027684495856))-π/2
    2×atan(2.97509759933478)-π/2
    2×1.24653679367907-π/2
    2.49307358735814-1.57079632675     		φ = 0.92227726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19673304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.271973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92227726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.842595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17410 KachelY 10698 0.19673304 0.92227726 11.271973 52.842595
    Oben rechts KachelX + 1 17411 KachelY 10698 0.19692478 0.92227726 11.282959 52.842595
    Unten links KachelX 17410 KachelY + 1 10699 0.19673304 0.92216143 11.271973 52.835958
    Unten rechts KachelX + 1 17411 KachelY + 1 10699 0.19692478 0.92216143 11.282959 52.835958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92227726-0.92216143) × R
    0.000115830000000039 × 6371000     		dl = 737.952930000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92227726-0.92216143) × R
    0.000115830000000039 × 6371000     		dr = 737.952930000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19673304-0.19692478) × cos(0.92227726) × R
    0.000191739999999996 × 0.604006795599517 × 6371000     		do = 737.839927498134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19673304-0.19692478) × cos(0.92216143) × R
    0.000191739999999996 × 0.604099105644241 × 6371000     		du = 737.952691190865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92227726)-sin(0.92216143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604006795599517-0.604099105644241)×R²
    abs(0.19692478-0.19673304)×9.23100447237646e-05×R²
    0.000191739999999996×9.23100447237646e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.23100447237646e-05×40589641000000     		ar = 544532.744125713m²