Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17383 / 10678
↖ ↑ ↗
← N 52.975108°
E 10.975342°		 ← 735.62 m → N 52.975108°
E 10.986328°		 →
↑
735.66 m
↓
↑
735.66 m
↓
N 52.968492°
E 10.975342°		 ← 735.74 m →
541 211 m²		 N 52.968492°
E 10.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530502319335938 y=0.325881958007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530502319335938 × 215)
    floor (0.530502319335938 × 32768)
    floor (17383.5)     		tx = 17383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325881958007812 × 215)
    floor (0.325881958007812 × 32768)
    floor (10678.5)     		ty = 10678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17383 / 10678 ti = "15/17383/10678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17383/10678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17383 ÷ 215
    17383 ÷ 32768     		x = 0.530487060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10678 ÷ 215
    10678 ÷ 32768     		y = 0.32586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530487060546875 × 2 - 1) × π
    0.06097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19155585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32586669921875 × 2 - 1) × π
    0.3482666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09411179692816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19155585} λ = 0.19155585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09411179692816))-π/2
    2×atan(2.9865288608928)-π/2
    2×1.24769319307377-π/2
    2.49538638614753-1.57079632675     		φ = 0.92459006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19155585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.975342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92459006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.975108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17383 KachelY 10678 0.19155585 0.92459006 10.975342 52.975108
    Oben rechts KachelX + 1 17384 KachelY 10678 0.19174760 0.92459006 10.986328 52.975108
    Unten links KachelX 17383 KachelY + 1 10679 0.19155585 0.92447459 10.975342 52.968492
    Unten rechts KachelX + 1 17384 KachelY + 1 10679 0.19174760 0.92447459 10.986328 52.968492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92459006-0.92447459) × R
    0.000115470000000006 × 6371000     		dl = 735.659370000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92459006-0.92447459) × R
    0.000115470000000006 × 6371000     		dr = 735.659370000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19155585-0.19174760) × cos(0.92459006) × R
    0.000191749999999991 × 0.602161928399216 × 6371000     		do = 735.624646588136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19155585-0.19174760) × cos(0.92447459) × R
    0.000191749999999991 × 0.602254112628076 × 6371000     		du = 735.737262460342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92459006)-sin(0.92447459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602161928399216-0.602254112628076)×R²
    abs(0.19174760-0.19155585)×9.21842288598151e-05×R²
    0.000191749999999991×9.21842288598151e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.21842288598151e-05×40589641000000     		ar = 541210.58812747m²