Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17347 / 10713
↖ ↑ ↗
← N 52.742943°
E 10.579834°		 ← 739.53 m → N 52.742943°
E 10.590820°		 →
↑
739.67 m
↓
↑
739.67 m
↓
N 52.736291°
E 10.579834°		 ← 739.64 m →
547 054 m²		 N 52.736291°
E 10.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529403686523438 y=0.326950073242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529403686523438 × 215)
    floor (0.529403686523438 × 32768)
    floor (17347.5)     		tx = 17347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326950073242188 × 215)
    floor (0.326950073242188 × 32768)
    floor (10713.5)     		ty = 10713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17347 / 10713 ti = "15/17347/10713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17347/10713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17347 ÷ 215
    17347 ÷ 32768     		x = 0.529388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10713 ÷ 215
    10713 ÷ 32768     		y = 0.326934814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529388427734375 × 2 - 1) × π
    0.05877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18465294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326934814453125 × 2 - 1) × π
    0.34613037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08740063098135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18465294} λ = 0.18465294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08740063098135))-π/2
    2×atan(2.96655287615275)-π/2
    2×1.24566717139424-π/2
    2.49133434278849-1.57079632675     		φ = 0.92053802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18465294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.579834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92053802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.742943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17347 KachelY 10713 0.18465294 0.92053802 10.579834 52.742943
    Oben rechts KachelX + 1 17348 KachelY 10713 0.18484468 0.92053802 10.590820 52.742943
    Unten links KachelX 17347 KachelY + 1 10714 0.18465294 0.92042192 10.579834 52.736291
    Unten rechts KachelX + 1 17348 KachelY + 1 10714 0.18484468 0.92042192 10.590820 52.736291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92053802-0.92042192) × R
    0.000116099999999952 × 6371000     		dl = 739.673099999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92053802-0.92042192) × R
    0.000116099999999952 × 6371000     		dr = 739.673099999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18465294-0.18484468) × cos(0.92053802) × R
    0.000191740000000024 × 0.605392019398481 × 6371000     		do = 739.53208300848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18465294-0.18484468) × cos(0.92042192) × R
    0.000191740000000024 × 0.60548442249491 × 6371000     		du = 739.644960370898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92053802)-sin(0.92042192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605392019398481-0.60548442249491)×R²
    abs(0.18484468-0.18465294)×9.24030964289946e-05×R²
    0.000191740000000024×9.24030964289946e-05×6371000²
    0.000191740000000024×9.24030964289946e-05×40589641000000     		ar = 547053.735176473m²