Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17345 / 10686
↖ ↑ ↗
← N 52.922151°
E 10.557861°		 ← 736.53 m → N 52.922151°
E 10.568848°		 →
↑
736.55 m
↓
↑
736.55 m
↓
N 52.915527°
E 10.557861°		 ← 736.64 m →
542 531 m²		 N 52.915527°
E 10.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529342651367188 y=0.326126098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529342651367188 × 215)
    floor (0.529342651367188 × 32768)
    floor (17345.5)     		tx = 17345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326126098632812 × 215)
    floor (0.326126098632812 × 32768)
    floor (10686.5)     		ty = 10686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17345 / 10686 ti = "15/17345/10686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17345/10686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17345 ÷ 215
    17345 ÷ 32768     		x = 0.529327392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10686 ÷ 215
    10686 ÷ 32768     		y = 0.32611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529327392578125 × 2 - 1) × π
    0.05865478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18426944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32611083984375 × 2 - 1) × π
    0.3477783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09257781614032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18426944} λ = 0.18426944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09257781614032))-π/2
    2×atan(2.98195109499799)-π/2
    2×1.2472310577959-π/2
    2.49446211559179-1.57079632675     		φ = 0.92366579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18426944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.557861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92366579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.922151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17345 KachelY 10686 0.18426944 0.92366579 10.557861 52.922151
    Oben rechts KachelX + 1 17346 KachelY 10686 0.18446119 0.92366579 10.568848 52.922151
    Unten links KachelX 17345 KachelY + 1 10687 0.18426944 0.92355018 10.557861 52.915527
    Unten rechts KachelX + 1 17346 KachelY + 1 10687 0.18446119 0.92355018 10.568848 52.915527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92366579-0.92355018) × R
    0.000115610000000044 × 6371000     		dl = 736.551310000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92366579-0.92355018) × R
    0.000115610000000044 × 6371000     		dr = 736.551310000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18426944-0.18446119) × cos(0.92366579) × R
    0.000191749999999991 × 0.602899584206741 × 6371000     		do = 736.525795875599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18426944-0.18446119) × cos(0.92355018) × R
    0.000191749999999991 × 0.602991815809947 × 6371000     		du = 736.638469622165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92366579)-sin(0.92355018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602899584206741-0.602991815809947)×R²
    abs(0.18446119-0.18426944)×9.22316032055948e-05×R²
    0.000191749999999991×9.22316032055948e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.22316032055948e-05×40589641000000     		ar = 542530.535403331m²