Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17336 / 10696
↖ ↑ ↗
← N 52.855864°
E 10.458984°		 ← 737.65 m → N 52.855864°
E 10.469971°		 →
↑
737.70 m
↓
↑
737.70 m
↓
N 52.849230°
E 10.458984°		 ← 737.77 m →
544 207 m²		 N 52.849230°
E 10.469971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529067993164062 y=0.326431274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529067993164062 × 215)
    floor (0.529067993164062 × 32768)
    floor (17336.5)     		tx = 17336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326431274414062 × 215)
    floor (0.326431274414062 × 32768)
    floor (10696.5)     		ty = 10696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17336 / 10696 ti = "15/17336/10696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17336/10696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17336 ÷ 215
    17336 ÷ 32768     		x = 0.529052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10696 ÷ 215
    10696 ÷ 32768     		y = 0.326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529052734375 × 2 - 1) × π
    0.05810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18254371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326416015625 × 2 - 1) × π
    0.34716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09066034015552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18254371} λ = 0.18254371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09066034015552))-π/2
    2×atan(2.97623875377425)-π/2
    2×1.24665259283328-π/2
    2.49330518566655-1.57079632675     		φ = 0.92250886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18254371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92250886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.855864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17336 KachelY 10696 0.18254371 0.92250886 10.458984 52.855864
    Oben rechts KachelX + 1 17337 KachelY 10696 0.18273546 0.92250886 10.469971 52.855864
    Unten links KachelX 17336 KachelY + 1 10697 0.18254371 0.92239307 10.458984 52.849230
    Unten rechts KachelX + 1 17337 KachelY + 1 10697 0.18273546 0.92239307 10.469971 52.849230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92250886-0.92239307) × R
    0.000115789999999949 × 6371000     		dl = 737.698089999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92250886-0.92239307) × R
    0.000115789999999949 × 6371000     		dr = 737.698089999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18254371-0.18273546) × cos(0.92250886) × R
    0.000191749999999991 × 0.603822199027319 × 6371000     		do = 737.652898353048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18254371-0.18273546) × cos(0.92239307) × R
    0.000191749999999991 × 0.603914493392065 × 6371000     		du = 737.765648771576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92250886)-sin(0.92239307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603822199027319-0.603914493392065)×R²
    abs(0.18273546-0.18254371)×9.22943647460039e-05×R²
    0.000191749999999991×9.22943647460039e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.22943647460039e-05×40589641000000     		ar = 544206.72269013m²