Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17303 / 10660
↖ ↑ ↗
← N 53.094024°
E 10.096435°		 ← 733.60 m → N 53.094024°
E 10.107422°		 →
↑
733.62 m
↓
↑
733.62 m
↓
N 53.087426°
E 10.096435°		 ← 733.71 m →
538 224 m²		 N 53.087426°
E 10.107422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528060913085938 y=0.325332641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528060913085938 × 215)
    floor (0.528060913085938 × 32768)
    floor (17303.5)     		tx = 17303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325332641601562 × 215)
    floor (0.325332641601562 × 32768)
    floor (10660.5)     		ty = 10660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17303 / 10660 ti = "15/17303/10660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17303/10660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17303 ÷ 215
    17303 ÷ 32768     		x = 0.528045654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10660 ÷ 215
    10660 ÷ 32768     		y = 0.3253173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528045654296875 × 2 - 1) × π
    0.05609130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17621604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3253173828125 × 2 - 1) × π
    0.349365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09756325370081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17621604} λ = 0.17621604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09756325370081))-π/2
    2×atan(2.99685454523257)-π/2
    2×1.24873092983499-π/2
    2.49746185966998-1.57079632675     		φ = 0.92666553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17621604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.096435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92666553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.094024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17303 KachelY 10660 0.17621604 0.92666553 10.096435 53.094024
    Oben rechts KachelX + 1 17304 KachelY 10660 0.17640779 0.92666553 10.107422 53.094024
    Unten links KachelX 17303 KachelY + 1 10661 0.17621604 0.92655038 10.096435 53.087426
    Unten rechts KachelX + 1 17304 KachelY + 1 10661 0.17640779 0.92655038 10.107422 53.087426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92666553-0.92655038) × R
    0.000115149999999953 × 6371000     		dl = 733.620649999699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92666553-0.92655038) × R
    0.000115149999999953 × 6371000     		dr = 733.620649999699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17621604-0.17640779) × cos(0.92666553) × R
    0.000191750000000018 × 0.60050363141591 × 6371000     		do = 733.598805905279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17621604-0.17640779) × cos(0.92655038) × R
    0.000191750000000018 × 0.600595703911106 × 6371000     		du = 733.711285279256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92666553)-sin(0.92655038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60050363141591-0.600595703911106)×R²
    abs(0.17640779-0.17621604)×9.20724951964935e-05×R²
    0.000191750000000018×9.20724951964935e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.20724951964935e-05×40589641000000     		ar = 538224.492017306m²