Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17285 / 16373
↖ ↑ ↗
← N  0.120849°
E  9.898682°		 ← 1 221.57 m → N  0.120849°
E  9.909668°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
N  0.109863°
E  9.898682°		 ← 1 221.57 m →
1 492 322 m²		 N  0.109863°
E  9.909668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527511596679688 y=0.499679565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527511596679688 × 215)
    floor (0.527511596679688 × 32768)
    floor (17285.5)     		tx = 17285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499679565429688 × 215)
    floor (0.499679565429688 × 32768)
    floor (16373.5)     		ty = 16373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17285 / 16373 ti = "15/17285/16373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17285/16373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17285 ÷ 215
    17285 ÷ 32768     		x = 0.527496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16373 ÷ 215
    16373 ÷ 32768     		y = 0.499664306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527496337890625 × 2 - 1) × π
    0.05499267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17276459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499664306640625 × 2 - 1) × π
    0.00067138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00210922358328247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17276459} λ = 0.17276459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00210922358328247))-π/2
    2×atan(1.0021114495601)-π/2
    2×0.786452774407127-π/2
    1.57290554881425-1.57079632675     		φ = 0.00210922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17276459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.898682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00210922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.120849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17285 KachelY 16373 0.17276459 0.00210922 9.898682 0.120849
    Oben rechts KachelX + 1 17286 KachelY 16373 0.17295633 0.00210922 9.909668 0.120849
    Unten links KachelX 17285 KachelY + 1 16374 0.17276459 0.00191747 9.898682 0.109863
    Unten rechts KachelX + 1 17286 KachelY + 1 16374 0.17295633 0.00191747 9.909668 0.109863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00210922-0.00191747) × R
    0.00019175 × 6371000     		dl = 1221.63925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00210922-0.00191747) × R
    0.00019175 × 6371000     		dr = 1221.63925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17276459-0.17295633) × cos(0.00210922) × R
    0.000191739999999996 × 0.99999777559632 × 6371000     		do = 1221.57282272285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17276459-0.17295633) × cos(0.00191747) × R
    0.000191739999999996 × 0.999998161654963 × 6371000     		du = 1221.57329432264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00210922)-sin(0.00191747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99999777559632-0.999998161654963)×R²
    abs(0.17295633-0.17276459)×3.8605864238761e-07×R²
    0.000191739999999996×3.8605864238761e-07×6371000²
    0.000191739999999996×3.8605864238761e-07×40589641000000     		ar = 1492321.59960641m²