Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17272 / 10664
↖ ↑ ↗
← N 53.067627°
E  9.755860°		 ← 734.05 m → N 53.067627°
E  9.766846°		 →
↑
734.07 m
↓
↑
734.07 m
↓
N 53.061025°
E  9.755860°		 ← 734.16 m →
538 882 m²		 N 53.061025°
E  9.766846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527114868164062 y=0.325454711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527114868164062 × 215)
    floor (0.527114868164062 × 32768)
    floor (17272.5)     		tx = 17272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325454711914062 × 215)
    floor (0.325454711914062 × 32768)
    floor (10664.5)     		ty = 10664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17272 / 10664 ti = "15/17272/10664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17272/10664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17272 ÷ 215
    17272 ÷ 32768     		x = 0.527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10664 ÷ 215
    10664 ÷ 32768     		y = 0.325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527099609375 × 2 - 1) × π
    0.05419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17027187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325439453125 × 2 - 1) × π
    0.34912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09679626330688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17027187} λ = 0.17027187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09679626330688))-π/2
    2×atan(2.99455686784527)-π/2
    2×1.24850056895239-π/2
    2.49700113790478-1.57079632675     		φ = 0.92620481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17027187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.755860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92620481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.067627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17272 KachelY 10664 0.17027187 0.92620481 9.755860 53.067627
    Oben rechts KachelX + 1 17273 KachelY 10664 0.17046362 0.92620481 9.766846 53.067627
    Unten links KachelX 17272 KachelY + 1 10665 0.17027187 0.92608959 9.755860 53.061025
    Unten rechts KachelX + 1 17273 KachelY + 1 10665 0.17046362 0.92608959 9.766846 53.061025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92620481-0.92608959) × R
    0.000115219999999971 × 6371000     		dl = 734.066619999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92620481-0.92608959) × R
    0.000115219999999971 × 6371000     		dr = 734.066619999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17027187-0.17046362) × cos(0.92620481) × R
    0.000191750000000018 × 0.600871969531578 × 6371000     		do = 734.048782204649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17027187-0.17046362) × cos(0.92608959) × R
    0.000191750000000018 × 0.600964066106022 × 6371000     		du = 734.161290994781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92620481)-sin(0.92608959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600871969531578-0.600964066106022)×R²
    abs(0.17046362-0.17027187)×9.20965744445335e-05×R²
    0.000191750000000018×9.20965744445335e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.20965744445335e-05×40589641000000     		ar = 538882.003537471m²