Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17164 / 16141
↖ ↑ ↗
← N  2.668713°
E  8.569336°		 ← 1 220.25 m → N  2.668713°
E  8.580322°		 →
↑
1 220.30 m
↓
↑
1 220.30 m
↓
N  2.657738°
E  8.569336°		 ← 1 220.26 m →
1 489 080 m²		 N  2.657738°
E  8.580322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523818969726562 y=0.492599487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523818969726562 × 215)
    floor (0.523818969726562 × 32768)
    floor (17164.5)     		tx = 17164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492599487304688 × 215)
    floor (0.492599487304688 × 32768)
    floor (16141.5)     		ty = 16141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17164 / 16141 ti = "15/17164/16141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17164/16141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17164 ÷ 215
    17164 ÷ 32768     		x = 0.5238037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16141 ÷ 215
    16141 ÷ 32768     		y = 0.492584228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5238037109375 × 2 - 1) × π
    0.047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14956313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492584228515625 × 2 - 1) × π
    0.01483154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0465946664306946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14956313} λ = 0.14956313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0465946664306946))-π/2
    2×atan(1.04769725613378)-π/2
    2×0.808687071189302-π/2
    1.6173741423786-1.57079632675     		φ = 0.04657782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14956313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04657782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.668713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17164 KachelY 16141 0.14956313 0.04657782 8.569336 2.668713
    Oben rechts KachelX + 1 17165 KachelY 16141 0.14975487 0.04657782 8.580322 2.668713
    Unten links KachelX 17164 KachelY + 1 16142 0.14956313 0.04638628 8.569336 2.657738
    Unten rechts KachelX + 1 17165 KachelY + 1 16142 0.14975487 0.04638628 8.580322 2.657738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04657782-0.04638628) × R
    0.000191539999999997 × 6371000     		dl = 1220.30133999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04657782-0.04638628) × R
    0.000191539999999997 × 6371000     		dr = 1220.30133999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14956313-0.14975487) × cos(0.04657782) × R
    0.000191740000000024 × 0.998915449440394 × 6371000     		do = 1220.25067956464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14956313-0.14975487) × cos(0.04638628) × R
    0.000191740000000024 × 0.99892434940658 × 6371000     		du = 1220.26155154564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04657782)-sin(0.04638628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998915449440394-0.99892434940658)×R²
    abs(0.14975487-0.14956313)×8.89996618569366e-06×R²
    0.000191740000000024×8.89996618569366e-06×6371000²
    0.000191740000000024×8.89996618569366e-06×40589641000000     		ar = 1489080.17750769m²