Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17162 / 16139
↖ ↑ ↗
← N  2.690661°
E  8.547363°		 ← 1 220.29 m → N  2.690661°
E  8.558350°		 →
↑
1 220.30 m
↓
↑
1 220.30 m
↓
N  2.679686°
E  8.547363°		 ← 1 220.30 m →
1 489 131 m²		 N  2.679686°
E  8.558350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523757934570312 y=0.492538452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523757934570312 × 215)
    floor (0.523757934570312 × 32768)
    floor (17162.5)     		tx = 17162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492538452148438 × 215)
    floor (0.492538452148438 × 32768)
    floor (16139.5)     		ty = 16139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17162 / 16139 ti = "15/17162/16139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17162/16139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17162 ÷ 215
    17162 ÷ 32768     		x = 0.52374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16139 ÷ 215
    16139 ÷ 32768     		y = 0.492523193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52374267578125 × 2 - 1) × π
    0.0474853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14917963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492523193359375 × 2 - 1) × π
    0.01495361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.046978161627655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14917963} λ = 0.14917963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.046978161627655))-π/2
    2×atan(1.04809912005089)-π/2
    2×0.808878609113124-π/2
    1.61775721822625-1.57079632675     		φ = 0.04696089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14917963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.547363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04696089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.690661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17162 KachelY 16139 0.14917963 0.04696089 8.547363 2.690661
    Oben rechts KachelX + 1 17163 KachelY 16139 0.14937138 0.04696089 8.558350 2.690661
    Unten links KachelX 17162 KachelY + 1 16140 0.14917963 0.04676935 8.547363 2.679686
    Unten rechts KachelX + 1 17163 KachelY + 1 16140 0.14937138 0.04676935 8.558350 2.679686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04696089-0.04676935) × R
    0.000191539999999997 × 6371000     		dl = 1220.30133999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04696089-0.04676935) × R
    0.000191539999999997 × 6371000     		dr = 1220.30133999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14917963-0.14937138) × cos(0.04696089) × R
    0.000191749999999991 × 0.998897540034441 × 6371000     		do = 1220.29244163446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14917963-0.14937138) × cos(0.04676935) × R
    0.000191749999999991 × 0.99890651329395 × 6371000     		du = 1220.30340372048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04696089)-sin(0.04676935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998897540034441-0.99890651329395)×R²
    abs(0.14937138-0.14917963)×8.97325950854899e-06×R²
    0.000191749999999991×8.97325950854899e-06×6371000²
    0.000191749999999991×8.97325950854899e-06×40589641000000     		ar = 1489131.19479517m²