Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17161 / 16138
↖ ↑ ↗
← N  2.701635°
E  8.536377°		 ← 1 220.28 m → N  2.701635°
E  8.547363°		 →
↑
1 220.30 m
↓
↑
1 220.30 m
↓
N  2.690661°
E  8.536377°		 ← 1 220.29 m →
1 489 118 m²		 N  2.690661°
E  8.547363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523727416992188 y=0.492507934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523727416992188 × 215)
    floor (0.523727416992188 × 32768)
    floor (17161.5)     		tx = 17161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492507934570312 × 215)
    floor (0.492507934570312 × 32768)
    floor (16138.5)     		ty = 16138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17161 / 16138 ti = "15/17161/16138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17161/16138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17161 ÷ 215
    17161 ÷ 32768     		x = 0.523712158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16138 ÷ 215
    16138 ÷ 32768     		y = 0.49249267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523712158203125 × 2 - 1) × π
    0.04742431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14898788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49249267578125 × 2 - 1) × π
    0.0150146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0471699092261353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14898788} λ = 0.14898788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0471699092261353))-π/2
    2×atan(1.04830010980916)-π/2
    2×0.808974376783728-π/2
    1.61794875356746-1.57079632675     		φ = 0.04715243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14898788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.536377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04715243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.701635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17161 KachelY 16138 0.14898788 0.04715243 8.536377 2.701635
    Oben rechts KachelX + 1 17162 KachelY 16138 0.14917963 0.04715243 8.547363 2.701635
    Unten links KachelX 17161 KachelY + 1 16139 0.14898788 0.04696089 8.536377 2.690661
    Unten rechts KachelX + 1 17162 KachelY + 1 16139 0.14917963 0.04696089 8.547363 2.690661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04715243-0.04696089) × R
    0.000191540000000004 × 6371000     		dl = 1220.30134000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04715243-0.04696089) × R
    0.000191540000000004 × 6371000     		dr = 1220.30134000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14898788-0.14917963) × cos(0.04715243) × R
    0.000191750000000018 × 0.998888530127808 × 6371000     		do = 1220.28143477905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14898788-0.14917963) × cos(0.04696089) × R
    0.000191750000000018 × 0.998897540034441 × 6371000     		du = 1220.29244163464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04715243)-sin(0.04696089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998888530127808-0.998897540034441)×R²
    abs(0.14917963-0.14898788)×9.00990663343926e-06×R²
    0.000191750000000018×9.00990663343926e-06×6371000²
    0.000191750000000018×9.00990663343926e-06×40589641000000     		ar = 1489117.79043104m²