Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17161 / 16135
↖ ↑ ↗
← N  2.734557°
E  8.536377°		 ← 1 220.25 m → N  2.734557°
E  8.547363°		 →
↑
1 220.24 m
↓
↑
1 220.24 m
↓
N  2.723583°
E  8.536377°		 ← 1 220.26 m →
1 489 000 m²		 N  2.723583°
E  8.547363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523727416992188 y=0.492416381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523727416992188 × 215)
    floor (0.523727416992188 × 32768)
    floor (17161.5)     		tx = 17161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492416381835938 × 215)
    floor (0.492416381835938 × 32768)
    floor (16135.5)     		ty = 16135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17161 / 16135 ti = "15/17161/16135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17161/16135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17161 ÷ 215
    17161 ÷ 32768     		x = 0.523712158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16135 ÷ 215
    16135 ÷ 32768     		y = 0.492401123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523712158203125 × 2 - 1) × π
    0.04742431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14898788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492401123046875 × 2 - 1) × π
    0.01519775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0477451520215759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14898788} λ = 0.14898788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0477451520215759))-π/2
    2×atan(1.04890331037155)-π/2
    2×0.809261674588245-π/2
    1.61852334917649-1.57079632675     		φ = 0.04772702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14898788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.536377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04772702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.734557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17161 KachelY 16135 0.14898788 0.04772702 8.536377 2.734557
    Oben rechts KachelX + 1 17162 KachelY 16135 0.14917963 0.04772702 8.547363 2.734557
    Unten links KachelX 17161 KachelY + 1 16136 0.14898788 0.04753549 8.536377 2.723583
    Unten rechts KachelX + 1 17162 KachelY + 1 16136 0.14917963 0.04753549 8.547363 2.723583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04772702-0.04753549) × R
    0.000191530000000002 × 6371000     		dl = 1220.23763000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04772702-0.04753549) × R
    0.000191530000000002 × 6371000     		dr = 1220.23763000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14898788-0.14917963) × cos(0.04772702) × R
    0.000191750000000018 × 0.998861281959738 × 6371000     		do = 1220.24814734745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14898788-0.14917963) × cos(0.04753549) × R
    0.000191750000000018 × 0.998870401324842 × 6371000     		du = 1220.25928792179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04772702)-sin(0.04753549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998861281959738-0.998870401324842)×R²
    abs(0.14917963-0.14898788)×9.11936510394895e-06×R²
    0.000191750000000018×9.11936510394895e-06×6371000²
    0.000191750000000018×9.11936510394895e-06×40589641000000     		ar = 1488999.50895703m²