Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1716 / 1940
↖ ↑ ↗
← S 83.111071°
E121.640625°		 ← 2 344.44 m → S 83.111071°
E121.816406°		 →
↑
2 340.90 m
↓
↑
2 340.90 m
↓
S 83.132123°
E121.640625°		 ← 2 337.31 m →
5 479 751 m²		 S 83.132123°
E121.816406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.838134765625 y=0.947509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.838134765625 × 211)
    floor (0.838134765625 × 2048)
    floor (1716.5)     		tx = 1716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.947509765625 × 211)
    floor (0.947509765625 × 2048)
    floor (1940.5)     		ty = 1940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1716 / 1940 ti = "11/1716/1940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1716/1940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1716 ÷ 211
    1716 ÷ 2048     		x = 0.837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1940 ÷ 211
    1940 ÷ 2048     		y = 0.947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.837890625 × 2 - 1) × π
    0.67578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.12302941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.947265625 × 2 - 1) × π
    -0.89453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.81025280332617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12302941} λ = 2.12302941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.81025280332617))-π/2
    2×atan(0.0601897742937186)-π/2
    2×0.0601172465305099-π/2
    0.12023449306102-1.57079632675     		φ = -1.45056183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12302941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45056183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.111071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1716 KachelY 1940 2.12302941 -1.45056183 121.640625 -83.111071
    Oben rechts KachelX + 1 1717 KachelY 1940 2.12609737 -1.45056183 121.816406 -83.111071
    Unten links KachelX 1716 KachelY + 1 1941 2.12302941 -1.45092926 121.640625 -83.132123
    Unten rechts KachelX + 1 1717 KachelY + 1 1941 2.12609737 -1.45092926 121.816406 -83.132123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45056183--1.45092926) × R
    0.000367430000000057 × 6371000     		dl = 2340.89653000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45056183--1.45092926) × R
    0.000367430000000057 × 6371000     		dr = 2340.89653000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12302941-2.12609737) × cos(-1.45056183) × R
    0.00306796000000009 × 0.119945014438427 × 6371000     		do = 2344.44203288938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12302941-2.12609737) × cos(-1.45092926) × R
    0.00306796000000009 × 0.119580228997558 × 6371000     		du = 2337.311946453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45056183)-sin(-1.45092926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.119945014438427-0.119580228997558)×R²
    abs(2.12609737-2.12302941)×0.000364785440868765×R²
    0.00306796000000009×0.000364785440868765×6371000²
    0.00306796000000009×0.000364785440868765×40589641000000     		ar = 5479750.88393045m²