Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1715 / 1939
↖ ↑ ↗
← S 83.089955°
E121.464844°		 ← 2 351.59 m → S 83.089955°
E121.640625°		 →
↑
2 347.97 m
↓
↑
2 347.97 m
↓
S 83.111071°
E121.464844°		 ← 2 344.44 m →
5 513 071 m²		 S 83.111071°
E121.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837646484375 y=0.947021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837646484375 × 211)
    floor (0.837646484375 × 2048)
    floor (1715.5)     		tx = 1715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.947021484375 × 211)
    floor (0.947021484375 × 2048)
    floor (1939.5)     		ty = 1939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1715 / 1939 ti = "11/1715/1939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1715/1939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1715 ÷ 211
    1715 ÷ 2048     		x = 0.83740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1939 ÷ 211
    1939 ÷ 2048     		y = 0.94677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83740234375 × 2 - 1) × π
    0.6748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.11996145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94677734375 × 2 - 1) × π
    -0.8935546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.80718484175049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11996145} λ = 2.11996145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.80718484175049))-π/2
    2×atan(0.0603747177631665)-π/2
    2×0.0603015203577157-π/2
    0.120603040715431-1.57079632675     		φ = -1.45019329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11996145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.464844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45019329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.089955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1715 KachelY 1939 2.11996145 -1.45019329 121.464844 -83.089955
    Oben rechts KachelX + 1 1716 KachelY 1939 2.12302941 -1.45019329 121.640625 -83.089955
    Unten links KachelX 1715 KachelY + 1 1940 2.11996145 -1.45056183 121.464844 -83.111071
    Unten rechts KachelX + 1 1716 KachelY + 1 1940 2.12302941 -1.45056183 121.640625 -83.111071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45019329--1.45056183) × R
    0.000368539999999973 × 6371000     		dl = 2347.96833999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45019329--1.45056183) × R
    0.000368539999999973 × 6371000     		dr = 2347.96833999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11996145-2.12302941) × cos(-1.45019329) × R
    0.00306796000000009 × 0.12031088562347 × 6371000     		do = 2351.59334125225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11996145-2.12302941) × cos(-1.45056183) × R
    0.00306796000000009 × 0.119945014438427 × 6371000     		du = 2344.44203288938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45019329)-sin(-1.45056183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12031088562347-0.119945014438427)×R²
    abs(2.12302941-2.11996145)×0.000365871185043276×R²
    0.00306796000000009×0.000365871185043276×6371000²
    0.00306796000000009×0.000365871185043276×40589641000000     		ar = 5513071.25340355m²