Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1714 / 1938
↖ ↑ ↗
← S 83.068774°
E121.289063°		 ← 2 358.77 m → S 83.068774°
E121.464844°		 →
↑
2 355.23 m
↓
↑
2 355.23 m
↓
S 83.089955°
E121.289063°		 ← 2 351.59 m →
5 546 993 m²		 S 83.089955°
E121.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837158203125 y=0.946533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837158203125 × 211)
    floor (0.837158203125 × 2048)
    floor (1714.5)     		tx = 1714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.946533203125 × 211)
    floor (0.946533203125 × 2048)
    floor (1938.5)     		ty = 1938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1714 / 1938 ti = "11/1714/1938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1714/1938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1714 ÷ 211
    1714 ÷ 2048     		x = 0.8369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1938 ÷ 211
    1938 ÷ 2048     		y = 0.9462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8369140625 × 2 - 1) × π
    0.673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.11689349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9462890625 × 2 - 1) × π
    -0.892578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.8041168801748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11689349} λ = 2.11689349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.8041168801748))-π/2
    2×atan(0.060560229503343)-π/2
    2×0.0604863562789505-π/2
    0.120972712557901-1.57079632675     		φ = -1.44982361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11689349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.289063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44982361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.068774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1714 KachelY 1938 2.11689349 -1.44982361 121.289063 -83.068774
    Oben rechts KachelX + 1 1715 KachelY 1938 2.11996145 -1.44982361 121.464844 -83.068774
    Unten links KachelX 1714 KachelY + 1 1939 2.11689349 -1.45019329 121.289063 -83.089955
    Unten rechts KachelX + 1 1715 KachelY + 1 1939 2.11996145 -1.45019329 121.464844 -83.089955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44982361--1.45019329) × R
    0.00036968000000015 × 6371000     		dl = 2355.23128000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44982361--1.45019329) × R
    0.00036968000000015 × 6371000     		dr = 2355.23128000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11689349-2.11996145) × cos(-1.44982361) × R
    0.00306796000000009 × 0.12067787213632 × 6371000     		do = 2358.7664497825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11689349-2.11996145) × cos(-1.45019329) × R
    0.00306796000000009 × 0.12031088562347 × 6371000     		du = 2351.59334125225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44982361)-sin(-1.45019329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12067787213632-0.12031088562347)×R²
    abs(2.11996145-2.11689349)×0.000366986512850151×R²
    0.00306796000000009×0.000366986512850151×6371000²
    0.00306796000000009×0.000366986512850151×40589641000000     		ar = 5546993.42311646m²