Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17137 / 16303
↖ ↑ ↗
← N  0.889857°
E  8.272705°		 ← 1 221.49 m → N  0.889857°
E  8.283691°		 →
↑
1 221.45 m
↓
↑
1 221.45 m
↓
N  0.878872°
E  8.272705°		 ← 1 221.50 m →
1 491 991 m²		 N  0.878872°
E  8.283691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522994995117188 y=0.497543334960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522994995117188 × 215)
    floor (0.522994995117188 × 32768)
    floor (17137.5)     		tx = 17137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497543334960938 × 215)
    floor (0.497543334960938 × 32768)
    floor (16303.5)     		ty = 16303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17137 / 16303 ti = "15/17137/16303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17137/16303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17137 ÷ 215
    17137 ÷ 32768     		x = 0.522979736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16303 ÷ 215
    16303 ÷ 32768     		y = 0.497528076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522979736328125 × 2 - 1) × π
    0.04595947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14438594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.497528076171875 × 2 - 1) × π
    0.00494384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0155315554768982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14438594} λ = 0.14438594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0155315554768982))-π/2
    2×atan(1.01565279696102)-π/2
    2×0.793163628932647-π/2
    1.58632725786529-1.57079632675     		φ = 0.01553093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14438594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.272705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01553093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.889857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17137 KachelY 16303 0.14438594 0.01553093 8.272705 0.889857
    Oben rechts KachelX + 1 17138 KachelY 16303 0.14457769 0.01553093 8.283691 0.889857
    Unten links KachelX 17137 KachelY + 1 16304 0.14438594 0.01533921 8.272705 0.878872
    Unten rechts KachelX + 1 17138 KachelY + 1 16304 0.14457769 0.01533921 8.283691 0.878872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01553093-0.01533921) × R
    0.000191719999999999 × 6371000     		dl = 1221.44812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01553093-0.01533921) × R
    0.000191719999999999 × 6371000     		dr = 1221.44812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14438594-0.14457769) × cos(0.01553093) × R
    0.000191750000000018 × 0.999879397530905 × 6371000     		do = 1221.49191729022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14438594-0.14457769) × cos(0.01533921) × R
    0.000191750000000018 × 0.999882356625021 × 6371000     		du = 1221.49553223574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01553093)-sin(0.01533921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999879397530905-0.999882356625021)×R²
    abs(0.14457769-0.14438594)×2.95909411607287e-06×R²
    0.000191750000000018×2.95909411607287e-06×6371000²
    0.000191750000000018×2.95909411607287e-06×40589641000000     		ar = 1491991.21827358m²